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第1章 集合与函数 1

1.1集合 1

1.1.1集合的概念 1

1.1.2实数集 1

1.1.3思维拓展问题解答 3

1.1.4知识拓展 3

1.1.5习题1.1 3

1.2函数 3

1.2.1 函数的概念 3

1.2.2函数的表示法 5

1.2.3反函数 6

1.2.4具有某种特性的函数 7

1.2.5复合函数 9

1.2.6基本初等函数与初等函数 9

1.2.7思维拓展问题解答 12

1.2.8知识拓展 12

1.2.9习题1.2 12

第2章 极限与连续 14

2.1两类典型问题 14

2.1.1变化率问题 14

2.1.2求积问题 15

2.1.3思维拓展问题解答 16

2.1.4知识拓展 17

2.1.5习题2 17

2.2函数在有限点处的极限与连续 17

2.2.1当x→x0时，函数f（x）的极限及无穷大 17

2.2.2一个重要结论 18

2.2.3单侧极限 19

2.2.4函数的连续性 20

2.2.5间断点 21

2.2.6思维拓展问题解答 22

2.2.7知识拓展 22

2.2.8习题2.2 25

2.3函数在无穷远处的极限 26

2.3.1当x→+∞时，函数f（x）的极限 26

2.3.2当x→-∞时，函数f（x）的极限 27

2.3.3当x→∞时，函数f（x）的极限及无穷大 27

2.3.4思维拓展问题解答 28

2.3.5知识拓展 28

2.3.6习题2.3 29

2.4极限的运算法则与初等函数的连续性 29

2.4.1极限的四则运算法则 29

2.4.2极限的复合运算法则 29

2.4.3区间上的连续函数与初等函数的连续性 30

2.4.4无穷小 30

2.4.5思维拓展问题解答 32

2.4.6知识拓展 33

2.4.7习题2.4 33

2.5无穷小的性质及比较 34

2.5.1具有极限的函数与无穷小的关系 34

2.5.2无穷小的代数性质 34

2.5.3无穷小的比较 35

2.5.4思维拓展问题解答 35

2.5.5知识拓展 35

2.5.6习题2.5 36

2.6重要极限与等价无穷小替换法则 37

2.6.1夹挤准则 37

2.6.2第一个重要极限lim x→0 sin x/x=1 37

2.6.3等价无穷小替换法则 37

2.6.4第二个重要极限lim x→∞（1+1/x）x=e 38

2.6.5 1∞型极限计算公式 40

2.6.6思维拓展问题解答 40

2.6.7习题2.6 40

第3章 导数与微分 43

3.1导数的概念 43

3.1.1导数的定义与几何意义 43

3.1.2函数可导性与连续性的关系 44

3.1.3函数增量（改变量）与函数连续、可导的等价定义 44

3.1.4思维拓展问题解答 45

3.1.5知识拓展 46

3.1.6习题3.1 46

3.2导数的四则运算法则 47

3.2.1几个基本初等函数的导数公式 47

3.2.2导数的四则运算法则 48

3.2.3思维拓展问题解答 48

3.2.4知识拓展 49

3.2.5习题3.2 49

3.3微分及反函数求导法则 49

3.3.1函数增量公式 49

3.3.2函数微分的定义 50

3.3.3反函数求导法则 51

3.3.4微分公式与微分运算法则 52

3.3.5思维拓展问题解答 52

3.3.6知识拓展 53

3.3.7习题3.3 53

3.4复合函数的求导法则及一阶微分形式不变性 54

3.4.1复合函数的求导法则 54

3.4.2一阶微分形式不变性 55

3.4.3思维拓展问题解答 55

3.4.4知识拓展 55

3.4.5习题3.4 56

3.5高阶导数 56

3.5.1高阶导数 56

3.5.2思维拓展问题解答 57

3.5.3知识拓展 57

3.5.4习题3.5 58

3.6微分方程的基本概念 58

3.6.1微分方程概念的引例 58

3.6.2微分方程的基本概念 59

3.6.3思维拓展问题解答 60

3.6.4知识拓展 60

3.6.5习题3.6 61

3.7二阶线性微分方程 61

3.7.1二阶线性齐次微分方程 61

3.7.2二阶线性非齐次微分方程 63

3.7.3知识拓展 65

3.7.4习题3.7 65

第4章 定积分与不定积分 67

4.1定积分 67

4.1.1定积分的定义 67

4.1.2定积分的存在性 68

4.1.3定积分的基本性质 69

4.1.4定积分的计算公式 69

4.1.5思维拓展问题解答 70

4.1.6知识拓展 70

4.1.7习题4.1 71

4.2原函数与不定积分 71

4.2.1原函数及其性质 71

4.2.2不定积分及其性质 72

4.2.3不定积分的几何意义 73

4.2.4思维拓展问题解答 74

4.2.5知识拓展 74

4.2.6习题4.2 75

4.3直接积分法 76

4.3.1直接积分法应用举例 76

4.3.2习题4.3 77

4.4换元积分法 78

4.4.1第一类换元积分法 78

4.4.2第二类换元积分法 82

4.4.3知识拓展 84

4.4.4习题4.4 85

4.5含三角函数式的积分 86

4.5.1直接积分法 86

4.5.2第一类换元积分法 86

4.5.3第二类换元积分法（三角代换） 88

4.5.4知识拓展 89

4.5.5习题4.5 91

4.6分部积分法 92

4.6.1分部积分公式 92

4.6.2思维拓展问题解答 95

4.6.3知识拓展 95

4.6.4习题4.6 96

4.7一阶微分方程 97

4.7.1可分离变量的一阶微分方程 97

4.7.2一阶线性微分方程 99

4.7.3思维拓展问题解答 100

4.7.4知识拓展 100

4.7.5习题4.7 104

第5章 一元微积分的应用 105

5.1函数的最值、极值 105

5.1.1极限的局部性质 105

5.1.2闭区间上连续函数的整体性质 106

5.1.3函数的极值与费马（Fermat）定理 107

5.1.4思维拓展问题解答 108

5.1.5习题5.1 108

5.2微分中值定理 108

5.2.1罗尔（Rolle）定理 108

5.2.2拉格朗日（Lagrange）中值定理与柯西（Cauchy）中值定理 109

5.2.3思维拓展问题解答 110

5.2.4习题5.2 110

5.3洛必达（LHospital）法则及其应用 110

5.3.1洛必达法则 111

5.3.2使用洛必达法则的注意事项与洛必达法则应用举例 111

5.3.3其它类型未定式 113

5.3.4思维拓展问题解答 115

5.3.5知识拓展 115

5.3.6习题5.3 116

5.4函数的单调性与极（最）值 117

5.4.1函数严格单调性的判定与极值的求法 117

5.4.2函数最值的求法及其应用 118

5.4.3思维拓展问题解答 120

5.4.4知识拓展 121

5.4.5习题5.4 122

5.5函数曲线的凹向与拐点 123

5.5.1曲线的凹向 123

5.5.2曲线的拐点 124

5.5.3思维拓展问题解答 125

5.5.4习题5.5 126

5.6平面图形的面积 127

5.6.1定积分？b a f（x）dx的几何意义 127

5.6.2平面图形的面积 127

5.6.3思维拓展问题解答 129

5.6.4知识拓展 129

5.6.5习题5.6 130

5.7积分中值定理 130

5.7.1定积分的估值不等式 130

5.7.2积分中值定理 131

5.7.3思维拓展问题解答 132

5.7.4知识拓展 132

5.7.5习题5.7 134

5.8变上限积分 135

5.8.1变上限积分 135

5.8.2微积分学基本定理 135

5.8.3无穷区间上的广义积分 136

5.8.4思维拓展问题解答 138

5.8.5知识拓展 138

5.8.6习题5.8 142

5.9微元法及其应用举例 143

5.9.1微元法 143

5.9.2平行截面面积为已知的几何体的体积 144

5.9.3思维拓展问题解答 146

5.9.4知识拓展 146

5.9.5习题5.9 147

第6章 级数 148

6.1数列极限 148

6.1.1数列极限的概念 148

6.1.2收敛数列的性质 148

6.1.3无穷小与无穷大 149

6.1.4思维拓展问题解答 150

6.1.5知识拓展 150

6.1.6习题6.1 150

6.2数项级数及其敛散性 151

6.2.1数项级数的基本概念 151

6.2.2数项级数的基本性质 153

6.2.3正项级数的收敛性 154

6.2.4交错级数及其审敛法 155

6.2.5绝对收敛和条件收敛 155

6.2.6思维拓展问题解答 156

6.2.7知识拓展 156

6.2.8习题6.2 157

6.3幂级数 159

6.3.1 函数项级数的一般概念 159

6.3.2幂级数及其敛散性 160

6.3.3思维拓展问题解答 161

6.3.4知识拓展 162

6.3.5习题6.3 167

6.4傅里叶（Fourier）级数 167

6.4.1三角级数 167

6.4.2三角函数系的正交性 168

6.4.3周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数 169

6.4.4周期为2l的函数的傅里叶级数 172

6.4.5思维拓展问题解答 174

6.4.6知识拓展 175

6.4.7习题6.4 176

第7章 多元函数微积分 177

7.1空间解析几何基本知识 177

7.1.1空间直角坐标系 177

7.1.2曲面与方程 178

7.1.3思维拓展问题解答 182

7.1.4知识拓展 182

7.1.5习题7.1 182

7.2多元函数的基本概念 183

7.2.1二元函数的概念 183

7.2.2二元函数的几何表示 184

7.2.3二元函数的极限 185

7.2.4二元函数的连续性 185

7.2.5思维拓展问题解答 186

7.2.6习题7.2 186

7.3偏导数 187

7.3.1偏导数 187

7.3.2高阶偏导数 188

7.3.3思维拓展问题解答 189

7.3.4知识拓展 190

7.3.5习题7.3 190

7.4全微分 191

7.4.1全增量 191

7.4.2全微分 191

7.4.3思维拓展问题解答 192

7.4.4习题7.4 192

7.5多元复合函数的偏导数 193

7.5.1多元复合函数的求导法则 193

7.5.2思维拓展问题解答 194

7.5.3习题7.5 194

7.6多元函数的极值 195

7.6.1多元函数的极值 195

7.6.2条件极值 197

7.6.3习题7.6 198

7.7二重积分 198

7.7.1二重积分的概念 198

7.7.2二重积分的性质 200

7.7.3二重积分的计算 200

7.7.4习题7.4 203

第8章 概率与统计初步 205

8.1随机事件及其概率 205

8.1.1随机现象与随机事件 205

8.1.2随机事件的概率与性质 206

8.1.3随机事件概率的计算 207

8.1.4思维拓展问题解答 209

8.1.5知识拓展 209

8.1.6习题8.1 210

8.2随机变量及其分布 211

8.2.1随机变量及其分布函数 211

8.2.2离散型随机变量的分布 212

8.2.3连续型随机变量及其分布 214

8.2.4思维拓展问题解答 217

8.2.5知识拓展 217

8.2.6习题8.2 218

8.3随机变量的数字特征 219

8.3.1数学期望 219

8.3.2方差 220

8.3.3思维拓展问题解答 221

8.3.4知识拓展 222

8.3.5习题8.3 222

8.4数理统计初步 224

8.4.1数理统计简介 224

8.4.2数理统计的基本概念 224

8.4.3频率直方图 225

8.4.4点估计 227

8.4.5一元线性回归分析 229

8.4.6思维拓展问题解答 230

8.4.7习题8.4 230

第9章 线性规划模型 233

9.1矩阵的概念 233

9.1.1矩阵的定义 233

9.1.2一些特殊的m×n矩阵 234

9.1.3一些特殊的方阵 235

9.1.4习题9.1 236

9.2矩阵的运算 236

9.2.1矩阵的加、减法 236

9.2.2数与矩阵的乘法 237

9.2.3矩阵的乘法 237

9.2.4思维拓展问题解答 239

9.2.5习题9.2 239

9.3线性方程组 239

9.3.1线性方程组的概念 239

9.3.2线性方程组与矩阵 240

9.3.3习题9.3 242

9.4线性规划模型 243

9.4.1线性规划问题及其数学模型 243

9.4.2运输问题及其数学模型 247

9.4.3线性整数规划及其数学模型 249

9.4.4习题9.4 253

第10章 软件MATLAB入门 255

10.1软件MATLAB 7.0基本操作 255

10.1.1软件MATLAB 7.0的启动 255

10.1.2软件MATLAB 7.0的常用窗口 255

10.1.3软件MATLAB 7.0常用工具栏 256

10.1.4软件MATLAB 7.0中的变量名规则 256

10.1.5软件MATLAB 7.0中的特殊符号和运算符 257

10.1.6软件MATLAB 7.0中的常用函数 257

10.1.7利用软件MATLAB 7.0作图 258

10.2软件MATLAB 7.0在极限中的应用 260

10.3软件MATLAB 7.0在导数中的应用 261

10.4软件MATLAB 7.0在积分中的应用 263

10.5软件MATLAB 7.0在无穷级数中的应用 265

10.6软件MATLAB 7.0在常微分方程中的应用 266

10.7软件MATLAB 7.0在统计学中的应用 266

10.7.1数据描述 266

10.7.2常用概率分布 267

10.7.3常用统计图 267

10.7.4一元线性回归 269

10.8软件MATLAB 7.0在线性规划中的应用 271

10.9利用软件MATLAB 7.0绘制空间图形 272

部分习题参考答案 274

附录 标准正态分布函数N（0，1）数值表 291