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第1章 函数、图像和直线 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间表示法 3

1.1.2 求定义域 3

1.1.3 利用图像求值域 4

1.1.4 垂线检验 5

1.2 反函数 6

1.2.1 水平线检验 7

1.2.2 求逆 8

1.2.3 限制定义域 8

1.2.4 反函数的反函数 9

1.3 函数的复合 10

1.4 奇函数和偶函数 12

1.5 线性函数的图像 14

1.6 常见函数及其图像 16

第2章 三角学回顾 21

2.1 基本知识 21

2.2 三角函数定义域的扩展 23

2.2.1 ASTC方法 25

2.2.2 ［0,2π］以外的三角函数 27

2.3 三角函数的图像 29

2.4 三角恒等式 32

第3章 极限导论 34

3.1 极限：基本思想 34

3.2 左极限与右极限 36

3.3 何时不存在极限 37

3.4 在∞和-∞处的极限 38

3.5 关于渐近线的两个常见错误认知 41

3.6 三明治定理 43

3.7 极限的基本类型小结 45

第4章 如何求解涉及多项式的极限问题 47

4.1 包含当x→a时的有理函数的极限 47

4.2 当x→a时的涉及平方根的极限 50

4.3 当x→∞时涉及的有理函数的极限 51

4.4 当x→∞时的多项式型函数的极限 56

4.5 当x→-∞时的有理函数的极限 59

4.6 包含绝对值的极限 61

第5章 连续性和可导性 63

5.1 连续性 63

5.1.1 在一点处连续 63

5.1.2 在一个区间上连续 64

5.1.3 连续函数的例子 65

5.1.4 介值定理 67

5.1.5 一个更难的IVT例子 69

5.1.6 连续函数的最大值和最小值 70

5.2 可导性 71

5.2.1 平均速率 71

5.2.2 位移和速度 72

5.2.3 瞬时速度 73

5.2.4 速度的图像解释 74

5.2.5 切线 75

5.2.6 导函数 76

5.2.7 作为极限比的导数 78

5.2.8 线性函数的导数 80

5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80

5.2.10 导数何时不存在 81

5.2.11 可导性和连续性 82

第6章 如何求解微分问题 84

6.1 使用定义求导 84

6.2 求导（好方法） 87

6.2.1 函数的常数倍 88

6.2.2 函数和与函数差 88

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 88

6.2.4 通过商法则求商函数的导数 90

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 91

6.2.6 一个令人讨厌的例子 94

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96

6.3 求切线方程 98

6.4 速度和加速度 99

6.5 导数伪装的极限 102

6.6 分段函数的导数 104

6.7 直接画出导函数的图像 107

第7章 三角函数的极限和导数 111

7.1 涉及三角函数的极限 111

7.1.1 小数情况 111

7.1.2 问题的求解——小数的情况 113

7.1.3 大数的情况 117

7.1.4 “其他的”情况 120

7.1.5 一个重要极限的证明 121

7.2 涉及三角函数的导数 124

7.2.1 求三角函数导数的例子 127

7.2.2 简谐运动 128

7.2.3 一个好奇的函数 129

第8章 隐函数求导和相关变化率 132

8.1 隐函数求导 132

8.1.1 技巧和例子 133

8.1.2 隐函数求二阶导 137

8.2 相关变化率 138

8.2.1 一个简单的例子 140

8.2.2 一个稍难的例子 141

8.2.3 一个更难的例子 142

8.2.4 一个非常难的例子 144

第9章 指数函数和对数函数 148

9.1 基础知识 148

9.1.1 指数函数的回顾 148

9.1.2 对数函数的回顾 149

9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 150

9.1.4 对数法则 151

9.2 e的定义 153

9.2.1 一个有关复利的例子 153

9.2.2 我们的问题的答案 154

9.2.3 关于e和对数函数的更多内容 156

9.3 对数函数和指数函数求导 158

9.4 如何求解涉及指数函数和对数函数的极限 161

9.4.1 涉及e的定义的极限 161

9.4.2 指数函数在0附近的行为 162

9.4.3 对数函数在1附近的行为 164

9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为 165

9.4.5 对数函数在∞附近的行为 167

9.4.6 对数函数在0附近的行为 169

9.5 对数函数求导 170

9.6 指数的增长和衰退 174

9.6.1 指数增长 175

9.6.2 指数衰退 176

9.7 双曲函数 178

第10章 反函数和反三角函数 182

10.1 导数和反函数 182

10.1.1 使用导数证明反函数存在 182

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 183

10.1.3 求反函数的导数 184

10.1.4 一个重要的例子 186

10.2 反三角函数 188

10.2.1 反正弦函数 188

10.2.2 反余弦函数 191

10.2.3 反正切函数 193

10.2.4 反正割函数 195

10.2.5 反余割函数及反余切函数 196

10.2.6 计算反三角函数 197

10.3 反双曲函数 199

第11章 导数和图像 203

11.1 函数的极值问题 203

11.1.1 全局极值和局部极值 203

11.1.2 极值定理 204

11.1.3 怎样求全局最大值和全局最小值 205

11.2 罗尔定理 208

11.3 中值定理 210

11.4 二次导数及图像 213

11.5 对于导数为零点的分类 215

11.5.1 一次导数的应用 216

11.5.2 二阶导数的应用 217

第12章 如何绘制函数图像 220

12.1 怎样建立符号表格 220

12.1.1 制作一次导数的符号表格 222

12.1.2 制作二次导数的表格 223

12.2 绘制函数图像的完全方法 225

12.3 例题 226

12.3.1 一个不使用导数的例子 226

12.3.2 使用完全方法绘制函数图像：例1 229

12.3.3 例2 230

12.3.4 例3 233

12.3.5 例4 236

第13章 最优化和线性化 240

13.1 最优化问题 240

13.1.1 一个简单的最优化例子 240

13.1.2 最优化问题：通常的方法 241

13.1.3 一个最优化的例子 242

13.1.4 另一个最优化的例子 244

13.1.5 在最优化问题中使用隐函数的求导方法 247

13.1.6 一个较难的最优化例题 247

13.2 线性化 250

13.2.1 线性化的归纳 251

13.2.2 微分 253

13.2.3 线性化的总结和例子 255

13.2.4 在我们估算过程中的误差 256

13.3 牛顿方法 258

第14章 洛必达法则及极限问题综述 264

14.1 洛必达法则 264

14.1.1 类型A:0/0 264

14.1.2 类型A:±∞/±∞ 267

14.1.3 类型B1（∞-∞） 268

14.1.4 类型B2（0×±∞） 270

14.1.5 类型C（1±∞,00或∞0） 271

14.1.6 洛必达法则类型的总结 273

14.2 关于极限的总结 274

第15章 积分 277

15.1 求和符号 277

15.1.1 一个有用的求和 280

15.1.2 伸缩求和法 281

15.2 位移和面积 284

15.2.1 三个简单的例子 284

15.2.2 一段更常规的旅行 286

15.2.3 有正负的面积 288

15.2.4 连续的速度 289

15.2.5 两个特别的估算 292

第16章 定积分 295

16.1 基本思想 295

16.2 定积分的定义 299

16.3 定积分的特性 303

16.4 求面积 307

16.4.1 求非代数和面积 308

16.4.2 求解两条曲线之间的面积 310

16.4.3 求曲线与y轴所围成的面积 312

16.5 估算积分 315

16.6 积分的平均值和中值定理 318

16.7 不可积的函数 321

第17章 微积分基本定理 323

17.1 以其他函数为积分的函数 323

17.2 微积分的第一基本定理 326

17.3 微积分的第二基本定理 330

17.4 不定积分 331

17.5 怎样解决问题：微积分第一基本定理 333

17.5.1 变形1：变量是积分下限 334

17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 334

17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 336

17.5.4 变形4：极限伪装成导数 337

17.6 怎样解决问题：微积分第二基本定理 337

17.6.1 计算不定积分 338

17.6.2 计算定积分 340

17.6.3 非代数和面积和绝对值 343

17.7 技术上的观点 346

17.8 微积分第一基本定理的证明 347

第18章 积分的方法：第一部分 349

18.1 替代法 349

18.1.1 换元法和定积分 352

18.1.2 怎样决定替代公式 355

18.1.3 换元法的理论解释 357

18.2 分部积分法 358

18.3 部分分式 363

18.3.1 部分分式的代数运算 363

18.3.2 对每一部分积分 367

18.3.3 方法和一个完整的例子 369

第19章 积分的方法：第二部分 374

19.1 应用三角函数公式的积分 374

19.2 关于三角函数的幂的积分 377

19.2.1 sin或cos的幂 377

19.2.2 tan的幂 379

19.2.3 sec的幂 380

19.2.4 cot的幂 382

19.2.5 csc的幂 383

19.2.6 递归公式 383

19.3 关于三角换元法的积分 385

19.3.1 类型1：？ 385

19.3.2 类型2：？ 387

19.3.3 类型3：？ 388

19.3.4 配方和三角换元法 389

19.3.5 关于三角换元法的总结 390

19.3.6 平方根的方法和三角换元法 390

19.4 积分技巧综述 392

第20章 反常积分：基本概念 394

20.1 收敛和发散 394

20.1.1 关于反常积分的一些例子 396

20.1.2 其他的破裂点 398

20.2 关于无穷区间的积分 399

20.3 比较判别法（理论） 401

20.4 极限比较判别法（理论） 403

20.4.1 函数互为渐近线 403

20.4.2 关于判别法的陈述 405

20.5 P判别法（理论） 406

20.6 绝对收敛判别法 408

第21章 反常积分：如何解题 411

21.1 如何开始 411

21.1.1 拆分积分 411

21.1.2 如何处理负函数值 412

21.2 积分判别法总结 414

21.3 ∞和-∞附近的常见函数 415

21.3.1 ∞和-∞附近的多项式和多项式型函数 416

21.3.2 ∞和-∞附近的三角函数 418

21.3.3 ∞和-∞附近的指数 420

21.3.4 ∞附近的对数 423

21.4 常见函数在0附近的情形 427

21.4.1 0附近的多项式和多项式型函数 427

21.4.2 0附近的三角函数 428

21.4.3 0附近的指数函数 429

21.4.4 0附近的对数函数 431

21.4.5 0附近的更一般函数 432

21.5 如何应对不在0或∞处的瑕点 433

第22章 数列和级数：基本概念 435

22.1 数列的收敛和发散 435

22.1.1 数列和函数的联系 436

22.1.2 两个重要数列 438

22.2 级数的收敛与发散 439

22.3 第n项判别法（理论） 443

22.4 无穷级数和反常积分的性质 444

22.4.1 比较判别法（理论） 444

22.4.2 极限比较判别法（理论） 445

22.4.3 p判别法（理论） 446

22.4.4 绝对收敛判别法 447

22.5 级数的新判别法 448

22.5.1 比式判别法（理论） 448

22.5.2 根式判别法（理论） 450

22.5.3 积分判别法（理论） 451

22.5.4 交错级数判别法（理论） 454

第23章 如何求解级数问题 457

23.1 如何求几何级数的值 457

23.2 如何应用第n项判别法 459

23.3 如何应用比式判别法 460

23.4 如何应用根式判别法 463

23.5 如何应用积分判别法 464

23.6 如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法 466

23.7 如何应对含负项的级数 470

第24章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 475

24.1 近似值和泰勒多项式 475

24.1.1 重访线性化 476

24.1.2 二次近似 476

24.1.3 高阶近似 477

24.1.4 泰勒定理 478

24.2 幂级数和泰勒级数 481

24.2.1 一般幂级数 482

24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数 484

24.2.3 泰勒级数的收敛性 485

24.3 一个重要极限 488

第25章 如何求解估算问题 490

25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 490

25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 491

25.3 用误差项估算问题 494

25.3.1 第一个例子 495

25.3.2 第二个例子 497

25.3.3 第三个例子 498

25.3.4 第四个例子 499

25.3.5 第五个例子 501

25.3.6 误差项估算的一般方法 502

25.4 误差估算的另一种方法 502

第26章 泰勒级数和幂级数：如何解题 505

26.1 幂级数的收敛性 505

26.1.1 收敛半径 505

26.1.2 如何求收敛半径和收敛区域 507

26.2 由旧泰勒级数求新泰勒级数 511

26.2.1 代换和泰勒级数 512

26.2.2 泰勒级数求导 514

26.2.3 泰勒级数求积分 515

26.2.4 泰勒级数相加和相减 517

26.2.5 泰勒级数相乘 518

26.2.6 泰勒级数相除 519

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 520

26.4 利用麦克劳林级数求极限 522

第27章 参数方程和极坐标 526

27.1 参数方程 526

27.2 极坐标 531

27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 532

27.2.2 极坐标系中画曲线 534

27.2.3 求极坐标曲线的切线 537

27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 538

第28章 复数 541

28.1 基础 541

28.2 复平面 544

28.3 复数的高次幂 547

28.4 解zn=w 548

28.5 解ez=w 553

28.6 一些三角级数 555

28.7 欧拉等式和幂级数 557

第29章 体积、弧长和表面积 559

29.1 旋转体的体积 559

29.1.1 圆盘法 560

29.1.2 壳法 561

29.1.3 总结和变式 563

29.1.4 变式1：区域在曲线和y轴之间 563

29.1.5 变式2：两曲线间的区域 565

29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转 567

29.2 一般固体体积 569

29.3 长 573

29.4 旋转体的表面积 577

第30章 微分方程 581

30.1 微分方程导论 581

30.2 可分离变量的一阶微分方程 582

30.3 一阶线性方程 584

30.4 常系数微分方程 588

30.4.1 解一阶齐次方程 589

30.4.2 解二阶齐次方程 589

30.4.3 为什么特征二次方程适用 590

30.4.4 非齐次方程和特解 591

30.4.5 求特解 592

30.4.6 求特解的例子 593

30.4.7 解决yP和yH间的冲突 596

30.4.8 IVP 596

30.5 微分方程建模 598

附录A 极限及其证明 601

A.1 极限的正式定义 601

A.1.1 小游戏 601

A.1.2 真正的定义 603

A.1.3 应用定义的例子 604

A.2 由原极限产生新极限 605

A.2.1 极限的和与差及证明 605

A.2.2 极限的乘积及证明 606

A.2.3 极限的商及证明 607

A.2.4 三明治定理及证明 609

A.3 极限的其他情形 609

A.3.1 无穷极限 610

A.3.2 左极限与右极限 611

A.3.3 在∞及-∞处的极限 611

A.3.4 两个涉及三角函数的例子 613

A.4 连续与极限 615

A.4.1 连续函数的复合 615

A.4.2 介值定理的证明 617

A.4.3 最大-最小定理的证明 618

A.5 重返指数函数和对数函数 619

A.6 微分与极限 621

A.6.1 数的常数倍 622

A.6.2 函数的和与差 622

A.6.3 乘积法则的证明 622

A.6.4 商法则的证明 623

A.6.5 链式求导法则的证明 624

A.6.6 极值定理的证明 624

A.6.7 罗尔定理的证明 625

A.6.8 中值定理的证明 625

A.6.9 线性化的误差 626

A.6.10 分段函数的导数 627

A.6.11 洛必达法则的证明 628

A.7 泰勒近似定理的证明 630

附录B 估算积分 633

B.1 使用条纹估算积分 633

B.2 梯形法则 636

B.3 辛普森法则 638

B.4 近似的误差 640

B.4.1 估算误差的例子 641

B.4.2 误差项不等式的证明 642

符号列表 644

索引 647