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第1章 函数 1

本章学习目标 1

1.1　函数及其性质 1

1.1.1　函数的概念 1

1.1.2　函数的几种特性 2

习题1.1 3

1.2　初等函数 3

1.2.1　基本初等函数 3

1.2.2　复合函数 4

1.2.3　初等函数 4

1.2.4　反函数与隐函数 5

习题1.2 6

本章小结 6

复习题1 6

自测题1 7

第2章　极限与连续 8

本章学习目标 8

2.1　极限的概念 8

2.1.1　数列的极限 8

2.1.2　函数的极限 9

2.1.3　极限的性质 11

2.1.4　无穷小量与无穷大量 11

习题2.1 13

2.2　极限的运算 13

2.2.1　极限的运算法则 13

2.2.2　两个重要极限 15

2.2.3　无穷小的比较 16

习题2.2 18

2.3　函数的连续性 19

2.3.1 函数的连续性概念 19

2.3.2　初等函数的连续性 22

2.3.3 闭区间上连续函数的性质 22

习题2.3 23

本章小结 23

复习题2 24

自测题2 24

第3章　导数与微分 26

本章学习目标 26

3.1　导数的概念 26

3.1.1　导数概念的引例 26

3.1.2　导数的概念与几何意义 27

3.1.3　可导与连续的关系 30

习题3.1 30

3.2　求导法则 31

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 31

3.2.2　复合函数的导数 33

3.2.3 反函数的求导法则 34

3.2.4　初等函数的导数 34

3.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 36

3.2.6 高阶导数 37

习题3.2 38

3.3　微分 39

3.3.1　微分的概念 39

3.3.2　微分的几何意义 40

3.3.3　微分的运算法则 41

3.3.4　微分在近似计算中的应用 42

习题3.3 43

本章小结 43

复习题3 44

自测题3 45

第4章　导数的应用 46

本章学习目标 46

4.1　微分中值定理 46

4.1.1　罗尔中值定理 46

4.1.2　拉格朗日中值定理 46

习题4.1 47

4.2　洛必达法则 48

习题4.2 50

4.3　函数的单调性、极值和最值 50

4.3.1 函数的单调性 50

4.3.2　函数的极值 51

4.3.3 函数的最大值和最小值 53

习题4.3 55

4.4 曲线的凹凸性与拐点 55

习题4.4 57

4.5 函数图形的描绘 57

习题4.5 58

4.6 曲率 58

4.6.1 曲率的概念 59

4.6.2 弧微分 59

4.6.3 曲率的计算公式 59

本章小结 60

复习题4 61

自测题4 62

第5章　不定积分 63

本章学习目标 63

5.1 不定积分的概念与性质 63

5.1.1 不定积分的概念 63

5.1.2　基本积分公式 65

5.1.3 不定积分的性质 66

习题5.1 67

5.2　不定积分的积分方法 68

5.2.1　第一类换元积分法（凑微分法） 68

5.2.2　第二类换元积分法 71

5.2.3 分部积分法 73

5.2.4　简单有理函数的积分 75

5.2.5　积分表的使用 77

习题5.2 78

本章小结 80

复习题5 80

自测题5 81

第6章　定积分 83

本章学习目标 83

6.1　定积分的概念与性质 83

6.1.1 引出定积分概念的实例 83

6.1.2　定积分的概念 85

6.1.3　定积分的几何意义 86

6.1.4　定积分的基本性质 86

习题6.1 88

6.2　定积分基本公式 89

6.2.1　变上限的定积分 89

6.2.2　微积分学基本定理 90

习题6.2 91

6.3　定积分的积分方法 92

6.3.1 定积分的换元积分法 92

6.3.2　定积分的分部积分法 95

习题6.3 97

6.4　广义积分 97

6.4.1 无穷区间上的广义积分 98

6.4.2　无界函数的广义积分 99

习题6.4 101

本章小结 101

复习题6 102

自测题6 103

第7章　定积分的应用 104

本章学习目标 104

7.1 定积分的几何应用 104

7.1.1　定积分的微元法 104

7.1.2　用定积分求平面图形的面积 105

7.1.3　用定积分求体积 108

7.1.4　平面曲线的弧长 110

习题7.1 112

7.2　定积分在物理中的应用 112

7.2.1 功 112

7.2.2　液体的压力 113

习题7.2 114

本章小结 114

复习题7 115

自测题7 116

第8章　常微分方程 118

本章学习目标 118

8.1　常微分方程的基本概念 118

习题8.1 120

8.2　一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 120

8.2.1　可分离变量的微分方程 120

8.2.2　齐次型微分方程 122

8.2.3　一阶线性微分方程 123

8.2.4　可降阶的高阶微分方程 124

习题8.2 127

8.3　二阶常系数线性微分方程 127

8.3.1 二阶线性微分方程解的结构 127

8.3.2　二阶常系数齐次线性微分方程的解法 129

8.3.3　二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 131

习题8.3 134

8.4　微分方程的应用 135

8.4.1　一阶微分方程的应用 135

8.4.2　二阶微分方程的应用 136

习题8.4 139

本章小结 139

复习题8 139

自测题8 140

第9章　空间解析几何 141

本章学习目标 141

9.1 空间直角坐标系与向量的概念 141

9.1.1 空间直角坐标系 141

9.1.2　向量的概念及其线性运算 143

9.1.3 向量的坐标表示 145

习题9.1 147

9.2 向量的数量积与向量积 147

9.2.1 向量的数量积 147

9.2.2 向量的向量积 149

习题9.2 150

9.3　平面与直线 151

9.3.1　平面的方程 151

9.3.2　直线的方程 154

9.3.3　平面、直线的位置关系 156

习题9.3 158

9.4 曲面与空间曲线 158

9.4.1 曲面方程的概念 158

9.4.2　球面 159

9.4.3　柱面 159

9.4.4　旋转曲面 161

9.4.5　几种常见的二次曲面 162

9.4.6　空间曲线 166

习题9.4 168

本章小结 169

复习题9 169

自测题9 170

第10章　多元函数微分学 172

本章学习目标 172

10.1 多元函数的概念、极限与连续 172

10.1.1　多元函数的概念 172

10.1.2　二元函数的极限与连续 174

习题10.1 175

10.2　偏导数 176

10.2.1　偏导数 176

10.2.2　高阶偏导数 178

习题10.2 179

10.3　全微分 180

10.3.1　全微分的定义 180

10.3.2　全微分在近似计算中的应用 182

习题10.3 183

10.4　多元复合函数与隐函数的微分法 183

10.4.1　多元复合函数的微分 183

10.4.2　隐函数微分法 185

习题10.4 187

10.5　偏导数在几何上的应用 187

10.5.1 空间曲线的切线与法平面 187

10.5.2　曲面的切平面与法线 189

习题10.5 190

10.6　二元函数的极值 191

10.6.1　二元函数的极值 191

10.6.2　二元函数的最大值与最小值 192

10.6.3　条件极值 193

习题10.6 194

本章小结 194

复习题10 195

自测题10 196

第11章　多元函数积分学 197

本章学习目标 197

11.1 二重积分的概念与性质 197

11.1.1　二重积分的概念 197

11.1.2　二重积分的几何意义 200

11.1.3　二重积分的性质 200

习题11.1 201

11.2　二重积分的计算 201

11.2.1　在直角坐标系下计算二重积分 201

11.2.2　利用极坐标计算二重积分 204

习题11.2 206

11.3 二重积分的应用 207

11.3.1　求空间立体的体积 207

11.3.2　求曲面的面积 208

11.3.3　求平面薄片的重心 209

习题11.3 210

本章小结 210

复习题11 211

自测题11 212

第12章　级数 213

本章学习目标 213

12.1 无穷级数的概念与性质 213

12.1.1　无穷级数的概念 213

12.1.2　无穷级数的性质 214

习题12.1 215

12.2　正项级数及其敛散性 216

12.2.1 正项级数及其收敛的充要条件 216

12.2.2　正项级数收敛的比较判别法 216

12.2.3　正项级数收敛的比值判别法 217

习题12.2 218

12.3　绝对收敛与条件收敛 219

12.3.1　交错级数及其敛散性 219

12.3.2　绝对收敛与条件收敛 219

习题12.3 220

12.4　幂级数 221

12.4.1 幂级数的收敛半径与收敛域 221

12.4.2　幂级数的运算 223

习题12.4 224

12.5 函数展开成幂级数 225

12.5.1　泰勒公式 225

12.5.2　初等函数的幂级数展开式 226

12.5.3　幂级数的应用 228

习题12.5 229

12.6　傅立叶级数 230

12.6.1 三角函数系的正交性 230

12.6.2 以2π为周期的函数f（x）展开成傅立叶（Fourier）级数 230

12.6.3 以2L为周期的函数f（x）展开成傅立叶级数 232

本章小结 233

复习题12 234

自测题12 235

第13章　Mathematica数学软件简介 237

本章学习目标 237

13.1　Mathematica基础 237

13.1.1　Mathematica的主要特点和功能 237

13.1.2　数、变量、函数 238

13.2　代数运算 240

13.2.1　化简计算结果 240

13.2.2　常用的因式分解函数 240

13.3　微积分 241

13.3.1 求极限 241

13.3.2　求导数 242

13.3.3　求极值 243

13.3.4　求不定积分 243

13.3.5　求定积分 244

13.3.6　解常微分方程 244

13.3.7　无穷级数 244

第14章　利用Mathematica作图 246

本章学习目标 246

14.1 二维图形 246

14.1.1　一元函数的图形 246

14.1.2 二维参数图形 247

14.2　三维图形 249

14.2.1　二元函数的图形 249

14.2.2　三维参数图形 250

附录　积分表 253

习题参考答案 260

参考文献 273