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第一篇 复变函数导论 3

第1章 复变函数与解析函数 3

1.1 复数 3

1.2 复变函数 复变函数的极限与连续 9

1.3 复变函数的导数 柯西-黎曼条件 15

1.4 解析函数 20

第2章 复变函数的积分 27

2.1 复变积分的定义和性质 27

2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式 32

2.3 解析函数的柯西公式 39

第3章 解析函数的级数表示 47

3.1 复变函数项级数 47

3.2 幂级数 53

3.3 解析函数的泰勒展开 59

3.4 解析函数的洛朗展开 65

3.5 解析函数的零点和孤立奇点 70

第4章 留数定理及其应用 77

4.1 留数定理 77

4.2 用留数定理计算实变积分 82

4.3 用留数定理计算级数和 94

5.1 解析延拓 Γ函数 100

第5章 解析延拓 多值函数及其黎曼面 100

5.2 多值函数及其黎曼面 105

第二篇 特殊函数与狄拉克δ函数 121

第6章 勒让德函数 121

6.1 勒让德方程与勒让德多项式 121

6.2 勒让德多项式的微分与积分表达式 母函数与递推公式 128

6.3 勒让德多项式的正交性与完备性 133

6.4 关联勒让德方程与关联勒让德函数 138

第7章 贝塞尔函数 144

7.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 144

7.2 贝塞尔函数的母函数 积分表达式 递推公式 渐近公式与零点 151

7.3 贝塞尔函数的正交性与完备性 158

7.4 虚宗量贝塞尔方程与虚宗量贝塞尔函数 165

7.5 球贝塞尔方程 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数与球汉克尔函数 168

第8章 狄拉克δ函数 172

8.1 一维δ函数的定义和性质 172

8.2 三维δ函数的定义和微分表达式 178

第三篇 数学物理方程 183

第9章 定解问题 183

9.1 波动问题 183

9.2 输运问题 189

9.3 稳定场问题 193

9.4 定解问题小结 197

第10章 行波法与平均值法 200

10.1 无界弦的自由振动 达朗贝尔公式及其推广 200

10.2 三维无界空间的自由振动 泊松公式 205

第11章 分离变量法 209

11.1 直角坐标系中的分离变量法 209

11.2 柱坐标系中的分离变量法 222

11.3 球坐标系中的分离变量法 229

11.4 施图姆-刘维尔本征值问题 236

第12章 积分变换法 245

12.1 傅里叶变换 245

12.2 傅里叶变换法 256

12.3 拉普拉斯变换 261

12.4 拉普拉斯变换法 271

第13章 格林函数法 275

13.1 格林函数法在稳定场问题中的应用 275

13.2 格林函数法在输运问题中的应用 282

13.3 格林函数法在波动问题中的应用 288

第14章 保角变换法 295

14.1 泛定方程的变换 295

14.2 几种常用的保角变换 297

14.3 用保角变换法求解边值问题 303

15.1 泛函的极值 307

第15章 变分法 307

15.2 里茨法 定态薛定谔方程的本征值问题 310

第四篇 数学物理方法的若干新兴分支 317

第16章 典型非线性方程的孤立波解 317

16.1 KdV方程 317

16.2 正弦-戈尔登方程 320

16.3 非线性薛定谔方程 322

第17章 Z变换 325

17.1 Z变换的定义及其性质 325

17.2 用Z变换求解差分方程 330

18.1 从傅里叶变换，加博变换到小波变换 332

第18章 小波变换 332

18.2 连续小波变换的性质 337

参考文献 341

附录 342

附录A 微分算符？的若干常用公式 342

附录B 几种常用的常系数常微分方程的解 343

附录C 广义积分与积分主值 345

附录D 二阶线性齐次常微分方程w″(z)+p(z)w′(z)+q(z)w(z)=0的解 346

附录E 三角函数的正交关系 348

习题答案 350

习题提示或解答 364