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第一章　极限理论 1

1.1　函数与数列 1

1.1.1　映射与函数 1

1.1.2　函数的一些特性 7

1.1.3　数列与子列 8

习题1.1A 10

习题1.1B 12

1.2　数列的极限 13

1.2.1　收敛数列 13

1.2.2　数列极限的性质 20

习题1.2A 24

习题1.2B 25

1.3　函数的极限 26

1.3.1　函数极限的概念 26

1.3.2　函数极限的性质 29

习题1.3A 33

习题1.3B 35

1.4　无穷小与无穷大 36

1.4.1　无穷小与无穷大 36

1.4.2　阶的比较 38

1.4.3　极限方法 42

习题1.4A 50

习题1.4B 51

1.5　连续函数 53

1.5.1　连续与间断 53

1.5.2　闭区间上连续函数的性质 59

习题1.5A 61

习题1.5B 63

总习题一 64

2.1　导数的概念 67

第二章　导数与微分 67

习题2.1A 76

习题2.1B 78

2.2　求导法则 80

2.2.1　导数的四则运算 80

2.2.2　反函数与复合函数求导 82

习题2.2A 90

习题2.2B 91

2.3.1　高阶导数 92

2.3　高阶导数与隐式导数 92

2.3.2　隐函数求导 95

2.3.3　参数化函数求导 97

习题2.3A 102

习题2.3B 103

2.4　函数微分 105

2.4.1　微分与高阶微分 105

2.4.2　微分的计算与应用 109

习题2.4A 113

习题2.4B 115

总习题二 116

第三章 中值定理及其应用 119

3.1　微分中值定理 119

3.1.1　罗尔定理 119

3.1.2　拉格朗日定理 121

3.1.3　柯西中值定理 125

习题3.1A 128

习题3.1B 129

3.2　罗必达法则 131

习题3.2A 139

习题3.2B 140

3.3　泰勒公式 142

3.3.1　泰勒公式 142

3.3.2　常用泰勒展式 144

习题3.3A 151

习题3.3B 152

3.4　导数的应用 154

3.4.1　函数的单调性与极值 154

3.4.2　函数的凹凸性与曲率 163

3.4.3　函数作图 169

习题3.4A 177

习题3.4B 179

总习题三 182

第四章　定积分与不定积分 185

4.1　定积分概念 185

4.1.1　定积分与可积性 185

4.1.2　定积分的性质 193

习题4.1A 196

习题4.1B 197

4.2　微积分基本定理 198

4.2.1　牛顿-莱布尼兹公式 199

4.2.2　不定积分的概念 201

习题4.2A 206

习题4.2B 207

4.3　积分方法 208

4.3.1　换元积分法 208

4.3.2　分部积分法 218

习题4.3A 223

习题4.3B 225

4.4　变限积分与分段积分 227

4.4.1　变限积分的导数 227

4.4.2　三角乘积的积分 235

4.4.3　分段函数的积分 238

习题4.4A 243

习题4.4B 244

总习题四 246

5.1　积分的分类计算 249

5.1.1　有理函数的积分 249

第五章 分类积分与积分应用 249

5.1.2　三角有理式的积分 256

5.1.3　特殊无理函数的积分 258

习题5.1A 263

习题5.1B 265

5.2　定积分的应用 267

5.2.1　积分等式与积分不等式 267

5.2.2　定积分在几何学中的应用 279

5.2.3　定积分在物理学中的应用 296

习题5.2A 301

习题5.2B 303

5.3　广义积分 305

5.3.1　无穷积分 305

5.3.2　瑕积分 309

5.3.3　Γ-函数与β-函数 311

习题5.3A 313

习题5.3B 314

总习题五 315

第六章　无穷级数 319

6.1　数项级数 319

6.1.1　级数的敛散性 320

6.1.2　正项级数 321

6.1.3　任意项级数 326

习题6.1A 328

习题6.1B 329

6.2　函数项级数 331

6.2.1　收敛与一致收敛 332

6.2.2　和函数的性质 334

习题6.2A 336

习题6.2B 337

6.3　幂级数 338

6.3.1　幂级数的敛散性 339

6.3.2　函数的幂级数展开 342

习题6.3A 346

习题6.3B 347

6.4　傅立叶级数 348

6.4.1　2π周期的傅立叶级数 348

6.4.2　一般周期的傅立叶级数 352

习题6.4A 355

习题6.4B 356

总习题六 357

7.1　微分方程的基本概念 361

第七章　常微分方程Ⅰ 361

习题7.1A 365

习题7.1B 366

7.2　一阶微分方程 367

7.2.1　可分离变量方程 367

7.2.2　一阶线性方程 372

习题7.2A 375

习题7.2B 376

7.3.1　高阶微分方程的降阶 378

7.3　高阶微分方程 378

7.3.2　高阶线性方程 384

7.3.3　常系数线性方程 388

习题7.3A 399

习题7.3B 400

总习题七 402

附录一　常用不等式 404

附录二　低阶行列式 414

附录三　常用曲线图 416