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目录 1

第1章 极限与连续 1

预备知识 1

1.1 函数 5

1.1.1 函数概念 5

1.1.2 函数的运算 7

1.1.3 函数的初等性质 9

1.1.4 初等函数 11

习题1.1 12

1.2 数列的极限 13

1.2.1 引例（割圆术） 13

1.2.2 数列极限的概念 14

1.2.3 收敛数列的性质 17

习题1.2 20

1.3 函数的极限 20

1.3.1 函数极限的概念 20

1.3.2 函数极限的性质 24

习题1.3 24

1.4 无穷小与无穷大 25

1.4.1 无穷小量 25

1.4.2 无穷大量 27

习题1.4 29

1.5 极限运算法则 30

1.5.1 四则运算法则 30

1.5.2 复合函数的极限运算法则 32

1.6.1 两边夹准则 33

1.6 极限存在准则——两个重要极限 33

习题1.5 33

1.6.2 单调有界收敛准则 36

习题1.6 39

1.7 无穷小的比较 40

1.7.1 无穷小比较的定义 40

1.7.2 重要的等价无穷小关系 41

1.7.3 等价无穷小替代定理 42

习题1.7 43

1.8 函数的连续性与间断点 43

1.8.1 函数的连续性 43

1.8.2 函数的间断点 45

习题1.8 47

1.9.1 连续函数的运算 48

1.9 连续函数的运算——闭区间上连续函数的性质 48

1.9.2 初等函数的连续性 49

1.9.3 闭区间上连续函数的性质 51

习题1.9 53

1.10 本章小结 53

1.10.1 基本要求 53

1.10.2 内容提要 54

1.10.3 学习指导 55

1.11 总习题1 55

第2章 导数与微分 57

2.1 导数的定义 57

2.1.1 引例 57

2.1.2 导数的定义 58

2.1.3 求导举例 59

2.1.4 导数的几何意义 61

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 63

习题2.1 63

2.2 求导法则 64

2.2.1 函数的和、差、积、商求导法则 65

2.2.2 反函数的求导法则 67

2.2.3 复合函数的求导法则 68

2.2.4 常用函数导数表 69

2.2.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 71

习题2.2 75

2.3 高阶导数及相关变化率 76

2.3.1 高阶导数 76

2.3.2 相关变化率 80

习题2.3 81

2.4 微分 82

2.4.1 微分的概念 82

2.4.2 微分的运算法则及基本公式 85

2.4.3 高阶微分 86

习题2.4 87

2.5 本章小结 88

2.5.1 基本要求 88

2.5.2 内容提要 88

2.6 总习题2 89

第3章 中值定理与导数应用 92

3.1 中值定理 92

3.1.1 费马（Fermat）引理 92

3.1.2 罗尔（Rolle）定理 93

3.1.3 拉格朗日（Lagrange）定理 94

3.1.4 柯西（Cauchy）定理 96

习题3.1 98

3.2 洛必达法则 99

3.2.1 ？型极限 99

3.2.2 ？型极限 101

3.2.3 0·∞，∞—∞，00，∞0，1∞型极限 101

习题3.2 103

3.3 泰勒公式 103

3.3.1 泰勒（Taylor）多项式 104

3.3.2 泰勒（Taylor）定理 105

3.3.3 基本初等函数的麦克劳林公式 107

3.4 函数的单调性和极值 109

习题3.3 109

3.4.1 函数单调性的判定方法 110

3.4.2 函数的极值 111

3.4.3 函数的最值 114

习题3.4 116

3.5 函数图形的描绘 117

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 118

3.5.2 曲线的渐近线 120

3.5.3 函数的作图 121

习题3.5 123

3.6 平面曲线的曲率 124

3.6.1 弧微分 124

3.6.2 曲率及其计算公式 125

3.6.3 曲率圆和曲率半径 126

习题3.6 128

3.7 本章小结 128

3.7.1 基本要求 128

3.7.2 内容提要 128

3.8 总习题3 129

第4章 不定积分 131

4.1 不定积分的概念与性质 131

4.1.1 原函数的概念 131

4.1.2 不定积分的概念 132

4.1.3 基本积分表 134

4.1.4 不定积分的基本运算法则 134

4.2 换元积分法 136

习题4.1 136

4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 137

4.2.2 第二类换元法 141

习题4.2 144

4.3 分部积分法 145

习题4.3 148

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分 149

4.4.1 有理函数的积分 149

4.4.2 可化为有理函数的积分 153

习题4.4 155

4.5 本章小结 156

4.5.1 基本要求 156

4.5.2 内容提要 156

4.5.3 学习指导 158

4.6 总习题4 159

第5章 定积分及其应用 161

5.1 定积分的概念 161

5.1.1 引例 161

5.1.2 定积分的概念 163

5.1.3 定积分的几何意义 166

习题5.1 166

5.2 定积分的性质 167

习题5.2 171

5.3 微积分基本定理 172

5.3.1 积分上限函数及其导数 172

5.3.2 微积分的基本定理（牛顿-莱布尼兹公式） 174

习题5.3 176

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 177

5.4.1 定积分换元积分法 178

5.4.2 定积分的分部积分法 182

习题5.4 184

5.5 广义积分 185

5.5.1 无穷区间上的广义积分 185

5.5.2 无界函数的广义积分 187

5.5.3 非负函数广义积分的判敛法则 189

习题5.5 191

5.6 定积分的几何应用 191

5.6.1 微元法的基本思想 191

5.6.2 平面图形的面积 192

5.6.3 体积 196

5.6.4 平面曲线的弧长 198

习题5.6 200

5.7.1 变力沿直线做功 201

5.7 定积分的物理应用 201

5.7.2 液体对薄板的侧压力 203

5.7.3 引力 203

习题5.7 204

5.8 本章小结 204

5.8.1 基本要求 204

5.8.2 内容提要 205

5.8.3 学习指导 208

5.9 总习题5 208

6.1 多元函数的概念 211

6.1.1 平面点集的有关概念 211

第6章 多元函数微分学及其应用 211

6.1.2 多元函数的概念 212

6.1.3 多元函数的极限 214

6.1.4 多元函数的连续性 215

习题6.1 216

6.2 偏导数与全微分 217

6.2.1 偏导数的概念 217

6.2.2 偏导数的几何意义 220

6.2.3 高阶偏导数 220

6.2.4 全微分 221

习题6.2 224

6.3 多元复合函数求导法 225

6.3.1 多元与一元的复合 225

6.3.2 多元与多元的复合 226

6.3.3 多元复合函数的高阶偏导数 228

6.3.4 微分求导法——一阶微分的形式不变性 229

习题6.3 230

6.4 隐函数求导法 231

6.4.1 一个方程的情形 231

6.4.2 方程组的情形 234

习题6.4 236

6.5 多元函数微分学的几何应用 237

6.5.1 空间曲线的切线与法平面 237

6.5.2 曲面的切平面与法线 238

习题6.5 240

6.6 方向导数与梯度 241

6.6.1 方向导数 241

6.6.2 梯度 243

6.7.1 多元函数的极值 245

习题6.6 245

6.7 多元函数的极值及其求法 245

6.7.2 条件极值，Lagrange乘数法 248

习题6.7 250

6.8 本章小结 251

6.8.1 基本要求 251

6.8.2 内容提要 251

6.9 总习题6 253

6.10 本章附录 254

6.10.1 最小二乘法 254

6.10.2 二元函数的Taylor公式及定理6.7.2的证明 255

6.10.3 定理6.7.2的证明 256

参考文献 259