复变函数与拉普拉斯变换PDF电子书下载

§1.1 复数 1

1.1.1　复数的定义 1

第一章　预备知识 1

1.1.2　复平面与复数的模及辐角 2

1.1.3　复数的其他表示法 3

§1.2　复数的运算 5

1.2.1　复数域 5

1.2.2　复数的乘积与商的几何意义 7

1.2.3　复数的乘幂与方根 8

§1.3 复球面与无穷远点 10

§1.4　复平面上的点集 11

1.4.1　平面点集的几个概念 11

1.4.2　平面图形的复数表示 14

思考题一 17

习题一 18

2.1.1　复变函数的概念 20

第二章　解析函数 20

§2.1 复变函数 20

2.1.2　极限与连续 24

§2.2 解析函数 27

2.2.1　复变函数的导数 27

2.2.2　解析函数 28

§2.3　解析函数的充分必要条件 30

§2.4 解析函数与调和函数的关系 34

§2.5　初等解析函数 36

2.5.1　指数函数 36

2.5.2　对数函数 38

2.5.3　幂函数 42

2.5.4　三角函数和双曲函数 44

思考题二 46

习题二 47

3.1.1　复积分的定义及其计算 50

第三章 复变函数的积分 50

§3.1 复变函数的积分及其性质 50

3.1.2　复积分的性质 54

§3.2　柯西积分定理 58

3.2.1　柯西（Cauchy）积分定理 58

3.2.2　原函数定理 63

§3.3　柯西积分公式 67

3.3.1　柯西积分公式 67

3.3.2　解析函数的积分平均值定理 70

3.3.3　调和函数的平均值性质及泊松（Poisson）公式 71

§3.4　解析函数的无穷可微性 73

3.4.1　高阶导数的柯西积分公式 74

3.4.2　柯西不等式和柳维尔（Liouville）定理 77

思考题三 79

习题三 80

4.1.1　复数序列与复数项级数 84

§4.1 复数项级数与幂级数 84

第四章　级数 84

4.1.2　复函数序列与复函数项级数 86

4.1.3　幂级数的敛散性 87

4.1.4　幂级数的收敛半径R的求法 90

4.1.5　幂级数和函数的解析性 91

§4.2 台劳（Taylor）级数 92

4.2.1　台劳定理 92

4.2.2　一些初等函数的台劳展开式 95

§4.3 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 98

§4.4 罗朗（Laurent）级数 102

4.4.1　双边级数的收敛性 102

4.4.2　罗朗定理 104

思考题四 111

习题四 114

5.1.1　孤立奇点的分类 118

第五章　留数 118

§5.1　孤立奇点的分类及其性质 118

5.1.2　孤立奇点的性质 120

5.1.3　解析函数在无穷远点的性态 124

§5.2 留数定理 127

5.2.1 留数的定义及留数定理 127

5.2.2　留数计算 128

5.2.3　无穷远点处的留数 137

§5.3 留数定理的应用 143

5.3.1 ？R（cosθ，sinθ）dθ型积分 143

5.3.2 ？f（x）dx型积分 145

5.3.3 ？e？f（x）dx型积分（α＞0） 148

5.3.4　积分路径（实轴）上有单极点的积分 150

5.3.5　另一些类型积分举例 154

思考题五 156

习题五 158

6.1.1　导数的几何意义 161

第六章　保角映射 161

§6.1　保角映射的概念 161

6.1.2　保角映射的概念及几个一般性定理 163

§6.2　若干初等函数所确定的映射 165

6.2.1　整线性映射 165

6.2.2　倒数映射 167

6.2.3　幂函数映射 170

6.2.4　指数函数与对数函数映射 171

§6.3　分式线性映射 174

6.3.1　分式线性映射 175

6.3.2　三对点的对应唯一确定一个分式线性映射 176

6.3.3　两个重要的分式线性映射 180

§6.4　举例 182

§6.5　保角映射的应用 186

6.5.1　拉普拉斯方程的边值问题 186

6.5.2　热传导问题 188

6.5.3　电位分布 190

思考题六 192

习题六 193

第七章　拉普拉斯变换 198

§7.1　拉氏变换的基本概念 198

7.1.1　拉氏变换的定义 198

7.1.2　拉氏变换的存在定理 199

§7.2　拉氏变换的基本性质 202

7.2.1　线性性质 202

7.2.2　平移性质 204

7.2.3　微分性质 207

7.2.4　积分性质 208

7.2.5　极限性质 210

7.2.6　卷积性质 211

7.3.1　拉氏变换的反演公式 214

§7.3　拉氏逆变换 214

7.3.2　利用留数理论计算象原函数 215

7.3.3　利用展开定理计算象原函数 218

§7.4　δ函数简介及其拉氏变换 219

7.4.1　δ函数的概念 219

7.4.2　δ函数的拉氏变换 224

§7.5　拉氏变换的应用 225

7.5.1　常系数线性常微分方程的初值问题 226

7.5.2　常系数线性常微分方程组的初值问题 228

7.5.3　某些微分积分方程的初值问题 232

习题七 233

附录Ⅰ 留数公式表 237

附录Ⅱ 某些定积分的计算公式 239

附录Ⅲ 拉氏变换主要公式表 241

附录Ⅳ 拉氏变换简表 242

习题答案 251