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目录 1

第一章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1　函数 1

1.1.2　函数的几种特性 5

1.1.3　反函数 8

1.1.4　复合函数　初等函数 8

习题1-1 11

1.2　数列的极限 13

习题1-2 17

1.3　函数的极限 17

1.3.1 当x→x0时，函数f（x）的极限 18

1.3.2 当x→∞时，函数f（x）的极限 20

习题1-3 21

1.4　无穷小与无穷大 22

1.4.1　无穷小 22

1.4.2　无穷大 23

习题1-4 24

1.5　极限运算法则 25

习题1-5 29

1.6　极限存在准则及两个重要极限 30

习题1-6 35

1.7　无穷小的比较 36

习题1-7 37

1.8 函数连续性与间断点 38

1.8.1 函数的连续性 38

1.8.2 函数的间断点 40

习题1-8 41

1.9　连续函数的运算与初等函数的连续性 42

1.9.1 连续函数的和、差、积及商的连续性 42

1.9.2 反函数与复合函数的连续性 43

1.9.3　初等函数的连续性 44

习题1-9 45

1.10 闭区间上连续函数的性质 45

1.10.1　最大值和最小值定理 46

1.10.2　介值定理 47

习题1-10 48

1.11　演示与实验 49

习题1-11 52

复习题一 52

第二章　导数与微分 57

2.1　导数的概念 57

2.1.1　引例 57

2.1.2　导数的定义 58

2.1.3　导数的几何意义 60

2.1.4　可导与连续的关系 61

习题2-1 62

2.2　求导法则与基本求导公式 63

2.2.1 常数及基本初等函数的导数 64

2.2.2　反函数的导数 66

2.2.3 函数的和、差、积、商的求导法则 67

2.2.4　复合函数的导数 69

习题2-2 71

2.3 高阶导数 73

2.4.1 隐函数的导数 75

2.4 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 75

习题2-3 75

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 79

习题2-4 81

2.5　微分的概念及其应用 82

2.5.1　微分的概念 82

2.5.2　微分的几何意义 85

2.5.3　微分的基本公式及其运算法则 85

2.5.4　微分在近似计算中的应用 88

习题2-5 90

2.6　演示与实验：利用Mathematica求函数的导数 91

习题2-6 92

复习题二 93

第三章 中值定理与导数的应用 96

3.1　微分学中值定理 96

3.1.1　罗尔定理 96

3.1.2　拉格朗日中值定理 97

3.1.3　柯西中值定理 99

3.2.1　罗必塔法则 100

习题3-1 100

3.2　罗必塔法则 100

3.2.2　其他类型未定式 103

习题3-2 104

3.3 函数单调性的判别法及极值 104

3.3.1 函数单调性的判别法 104

3.3.2　函数的极值 107

习题3-3 111

3.4.1 求已知函数的最大值最小值 112

3.4 函数的最大值最小值及其应用 112

3.4.2　经济学中的最大值最小值问题 113

3.4.3　其他应用问题 114

习题3-4 115

3.5 曲线的凹凸性与拐点 116

习题3-5 119

3.6 函数图形的描绘 119

习题3-6 122

3.7　演示与实验：利用导数知识找特殊点 122

复习题三 124

习题3-7 124

第四章　不定积分 128

4.1　不定积分的概念与性质 128

4.1.1 原函数与不定积分的概念 128

4.1.2　基本积分表 131

4.1.3　不定积分的性质 132

习题4-1 134

4.2　换元积分法 135

4.2.1　第一类换元法 135

4.2.2　第二类换元法 138

习题4-2 140

4.3　分部积分法 141

习题4-3 143

4.4　三种函数简单形式的积分举例 144

4.4.1　有理函数积分举例 144

4.4.2　三角函数有理式积分举例 146

4.4.3　简单无理函数积分举例 147

习题4-4 148

4.5　演示与实验 149

复习题四 150

习题4-5 150

第五章　定积分及其应用 154

5.1　定积分的概念 154

5.1.1　定积分问题举例 154

5.1.2　定积分的性质 160

5.1.3　举例 164

习题5-1 164

5.2.1　变速直线运动的速度与路程的关系 165

5.2　变上限函数与微积分学基本定理 165

5.2.2　变上限函数 166

5.2.3　微积分学基本定理 168

习题5-2 169

5.3　定积分的换元法 170

习题5-3 175

5.4　定积分的分部积分法 176

习题5-4 178

5.5　积分区间为无穷区间的广义积分 179

习题5-5 181

5.6　定积分的几何应用 181

5.6.1　定积分的微元法 181

5.6.2　平面图形的面积 183

5.6.3　体积 188

习题5-6 192

5.7　定积分在物理中的应用举例 194

5.7.1　变力所作的功 194

5.7.2　液体压力 195

习题5-7 196

5.8　演示与实验 197

5.8.1 用Mathematica计算定积分 197

5.8.2　用Mathematica进行数值积分 198

习题5-8 199

复习题五 199

附录一 几种常用的曲线 203

附录二　积分表 207

习题答案 217