曲线与曲面的微分几何PDF电子书下载

第1章 曲线 1

1.1引言 1

1.2参数曲线 1

1.3正则曲线；弧长 4

14？3中的向量积 9

1.5以弧长为参数的曲线的局部理论 13

1.6局部规范形式 20

1.7平面曲线的一些整体性质 23

第2章 正则曲面 39

2.1引言 39

2.2正则曲面；正则值的原像 39

2.3参数变换；曲面上的可微函数 52

2.4切平面；映照的微分 61

2.5第一基本形式；面积 68

2.6曲面的定向 75

2.7紧致定向曲面的一个特征 80

2.8面积的几何定义 83

附录连续性和可微性简述 85

第3章 Gauss映照的几何学 97

3.1引言 97

3.2Gauss映照的定义和基本性质 97

3.3局部坐标中的Gauss映照 111

3.4向量场 128

3.5直纹面和极小曲面 137

附录自伴随的线性映照和二次形式 155

第4章 曲面的内蕴几何学 159

4.1引言 159

4.2等距对应；共形映照 159

4.3Gauss定理和相容性方程 169

4.4平行移动；测地线 173

4.5GaussBonnet定理及其应用 192

4.6指数映照；测地极坐标 207

4.7测地线的一些进一步的性质，凸邻域 217

附录曲线和曲面局部理论基本定理的证明 225

第5章 整体微分几何学 231

5.1引言 231

5.2球面的刚性 232

5.3完备曲面；Hopf-Rinow定理 238

5.4弧长的第一变分和第二变分；Bonnet定理 248

5.5Jacobi场和共轭点 261

5.6覆盖空间；Hadamard定理 272

5.7曲线的整体性定理；FaryMilnor定理 285

5.8Gauss曲率为零的曲面 299

5.9Jacobi定理 304

5.10抽象曲面及其进一步推广 310

5.11Hilbert定理 326

附录欧氏空间的点集拓扑 333

文献与评注 344

提示与答案 346