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5 空间解析几何 1

5.1 空间直角坐标系 1

5.2 向量代数 5

5.2.1 向量的概念 5

5.2.2 向量的加法与数乘 6

5.2.3 向量的分解与坐标 10

5.2.4 向量的数量积 16

5.2.5 向量的向量积 22

5.2.6 向量的混合积 28

5.2.7 二重向量积 30

5.3 平面与直线 35

5.3.1 平面的方程 35

5.3.2 两平面的关系 38

5.3.3 点到平面的距离 41

5.3.4 直线的方程 41

5.3.5 两直线的关系 44

5.3.6 点到直线的距离 47

5.3.7 直线与平面的关系 48

5.3.8 平面束方程 50

5.4 常见曲面 60

5.4.1 曲面方程的概念 60

5.4.2 柱面 61

5.4.3 旋转曲面 63

5.4.4 椭球面 64

5.4.5 单叶双曲面 66

5.4.6 双叶双曲面 67

5.4.7 二次锥面 69

5.4.8 椭圆抛物面 70

5.4.9 双曲抛物面 71

5.5 空间坐标变换 75

5.5.1 坐标系的平移 75

5.5.2 坐标系的旋转 76

5.5.3 柱坐标与球坐标 80

6 多变量函数的微分学 85

6.1 多变量函数的极限与连续 85

6.1.1 映射和多变量函数 85

6.1.2 平面点集的一些概念 88

6.1.3 平面点列极限与二元函数极限 90

6.1.4 二元函数的连续性 94

6.1.5 区域上定义的连续函数的性质 96

6.1.6n 维欧氏空间，Rn到Rm映射的连续性 97

6.1.7 连续函数性质定理的证明 105

6.2 多元函数的偏微商与全微分 112

6.2.1 偏微商 112

6.2.2 全微分 114

6.2.3 高阶偏微商 117

6.2.4 函数值的近似计算 121

6.2.5 误差估计 122

6.3 复合函数的微分法 128

6.3.1 复合函数微商的链式法则 128

6.3.2 微分的运算，一阶全微分形式的不变性 132

6.3.3 复合函数的全微商，偏微商记号的用法 133

6.3.4 复合函数的高阶微商 135

6.4 隐函数的微分法 142

6.4.1 多元方程所确定的隐函数及其微商 142

6.4.2 方程组所确定的隐函数组及其微商 146

6.5 向量值函数的求导，空间曲线的切向量和空间曲面的法向量 154

6.5.1 一元向量值函数及其微商 154

6.5.2 简单曲线与逐段光滑曲线，空间曲线的切向量 156

6.5.3 二元向量值函数的偏微商，空间曲面的法向量 158

6.5.4 隐式曲面的法向量，两隐式曲面交线的切向量 163

6.5.5 Rn到Rm的映射，雅可比矩阵，雅可比行列式及其性质 166

6.6.1 二元函数的泰勒公式 171

6.6 多元函数的泰勒公式与极值 171

6.6.2 多元函数的极值 175

6.6.3 最小二乘法 183

6.6.4 条件极值 185

6.6.5 例 190

7 多变量函数的积分学 201

7.1 二重积分 201

7.1.1 二重积分概念的导出 201

7.1.2 二重积分的定义与可积函数 203

7.1.3 二重积分的性质 204

7.1.4 直角坐标系下二重积分的累次积分法 206

7.1.5 极坐标系下二重积分的累次积分法 215

7.1.6 二重积分的一般曲线坐标代换 221

7.1.7 广义二重积分 228

7.2.1 三重积分的概念 236

7.2 三重积分 236

7.2.2 直角坐标系下三重积分的累次积分法 238

7.2.3 柱坐标下三重积分的计算 244

7.2.4 球坐标下三重积分的计算 246

7.2.5 三重积分一般的变量代换 249

7.3 曲线弧长与第一型曲线积分 256

7.3.1 空间曲线的弧长 256

7.3.2 第一型曲线积分 259

7.4 曲面面积与第一型曲面积分 265

7.4.1 曲面的面积 265

7.4.2 第一型曲面积分 270

7.5 重积分、线积分与面积分的应用 275

7.5.1 重心与转动惯量 275

7.5.2 物体的引力 281

8.1 数量场的方向导数与梯度 290

8.1.1 场的概念 290

8 场论 290

8.1.2 数量场的方向微商 291

8.1.3 梯度 294

8.2 向量场的通量与散度 300

8.2.1 双侧曲面的定侧 300

8.2.2 向量场的通量 304

8.2.3 第二型曲面积分 308

8.2.4 散度 315

8.2.5 高斯公式 318

8.3 向量场的环量与旋度 330

8.3.1 向量场沿有向曲线的积分及其计算 330

8.3.2 第二型曲线积分 332

8.3.3 环量与旋度的概念 338

8.3.4 格林定理与斯托克斯定理 341

8.3.5 旋度的计算 348

8.4.1 保守场和势函数 356

8.4 保守场和无源场 356

8.4.2 无源场与向量势 365

8.5 哈密顿算符及其运算公式 374

8.5.1 算符？作用在一个场上的运算 375

8.5.2 算符？作用在两个场乘积上的运算 377

8.5.3 高斯公式与斯托克斯公式的其它形式 379

8.6 外微分形式 382

8.6.1 外微分形式的外积 383

8.6.2 外微分形式的外微分 385

8.6.3 一般的斯托克斯定理 387

8.7 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系下的表达式 389

8.7.1 曲线坐标的概念 389

8.7.2 梯度的表达式 392

8.7.3 散度的表达式 393

8.7.4 旋度的表达式 396

参考答案 401