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第一章　行列式 1

1.1 二阶与三阶行列式 1

1.1.1　二阶行列式 1

1.1.2 三阶行列式 3

习题1-1 5

1.2 n阶行列式的定义 5

1.2.1　排列与逆序数 5

1.2.2 n阶行列式的定义 6

习题1-2 9

1.3　行列式的性质及计算 9

1.3.1　行列式的性质 9

1.3.2　行列式的计算 14

习题1-3 19

1.4　克拉默（Cramer）法则 20

习题1-4 23

总习题一 24

数学实验一：用Mathematica进行行列式的运算 25

第二章　矩阵及其运算 28

2.1　矩阵及其运算 28

2.1.1 矩阵的概念 28

2.1.2　矩阵的运算 31

习题2-1 37

2.2　逆矩阵 38

2.2.1　逆矩阵的定义 38

2.2.2　方阵可逆的充要条件 39

习题2-2 42

2.3　分块矩阵及其运算 43

2.3.1　分块矩阵的概念 43

2.3.2　分块矩阵的运算 44

习题2-3 48

2.4　矩阵的初等变换与矩阵的秩 49

2.4.1　矩阵的初等变换 49

2.4.2　矩阵秩的概念与求法 53

习题2-4 57

2.5　初等矩阵 57

2.5.1　初等矩阵及其性质 57

2.5.2　用初等变换求逆矩阵 59

习题2-5 62

2.6　矩阵应用实例 63

总习题二 65

数学实验二：用Mathematica进行矩阵的运算 67

第三章 向量与向量空间 71

3.1 几何向量及其线性运算 71

3.1.1　几何向量的基本概念 71

3.1.2　几何向量的线性运算 72

习题3-1 73

3.2　空间直角坐标系 74

3.2.1 空间直角坐标系 74

3.2.2　几何向量的坐标表示 74

3.2.3　用坐标进行向量运算 77

习题3-2 78

3.3 n维向量及其线性运算 78

3.3.1 n维向量的概念 78

3.3.2 n维向量的线性运算 79

习题3-3 79

3.4　向量组的线性相关性 80

3.4.1 向量组及其线性组合 80

3.4.2　线性相关与线性无关的概念 83

3.4.3　线性相关性的性质 83

3.4.4　线性相关性的判定 85

习题3-4 89

3.5　向量组的秩 90

3.5.1　最大线性无关组 90

3.5.2　向量组的秩 91

3.5.3　矩阵的秩与向量组的秩的关系 92

习题3-5 94

3.6　向量空间 95

3.6.1 向量空间的概念 95

3.6.2　坐标变换 98

习题3-6 100

总习题三 100

数学实验三：用Mathematica求向量组的最大无关组 102

第四章　欧氏空间 103

4.1 向量的内积　欧氏空间 103

4.1.1 R3中向量的内积 103

4.1.2 n维向量的内积 欧氏空间 104

习题4-1 106

4.2　标准正交基 106

习题4-2 109

4.3 R3中向量的外积和混合积 110

4.3.1 向量的外积 110

4.3.2 向量的混合积 111

习题4-3 113

4.4 R3中的平面与直线 113

4.4.1　平面及其方程 113

4.4.2　空间直线及其方程 116

4.4.3　位置关系 119

4.4.4　平面束 122

习题4-4 123

4.5　空间曲面及其方程 124

4.5.1　球面 124

4.5.2　旋转曲面 125

4.5.3　柱面 126

习题4-5 127

4.6　空间曲线及其方程 127

4.6.1 空间曲线的一般方程 127

4.6.2　空间曲线的参数方程 128

4.6.3　空间曲线在坐标面上的投影 129

习题4-6 130

4.7　二次曲面 130

4.7.1　椭球面 131

4.7.2　抛物面 132

4.7.3　双曲面 133

4.7.4　二次锥面 135

习题4-7 135

总习题四 136

数学实验四：用Mathematica求标准正交基、描述曲线 137

第五章　线性方程组 139

5.1　线性方程组有解的充要条件 139

习题5-1 141

5.2　线性方程组解的结构 142

5.2.1 齐次线性方程组解的结构 142

5.2.2　非齐次线性方程组解的结构 145

习题5-2 148

5.3　用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用 149

5.3.1　用矩阵的初等行变换求解线性方程组 149

5.3.2　线性方程组应用举例 153

习题5-3 160

总习题五 160

数学实验五：用Mathematica求解线性方程组 162

第六章　特征值、特征向量及相似矩阵 164

6.1　特征值与特征向量 164

6.1.1　特征值与特征向量的概念 164

6.1.2　特征值与特征向量的性质 167

习题6-1 169

6.2　相似矩阵 169

6.2.1　相似矩阵的概念及性质 169

6.2.2　方阵的相似对角化问题 171

习题6-2 173

6.3　实对称矩阵及其对角化 174

6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 174

6.3.2　实对称矩阵的正交相似对角化 175

习题6-3 178

6.4　应用举例 179

习题6-4 182

总习题六 182

数学实验六：用Mathematica进行特征值的运算 184

第七章　二次型 187

7.1 二次型 187

7.1.1 二次型的定义及其矩阵 187

7.1.2　矩阵的合同 189

习题7-1 190

7.2　化二次型为标准形 190

7.2.1 用正交变换化二次型为标准形 191

7.2.2　用配方法化二次型为标准形 193

习题7-2 195

7.3　正定二次型 195

7.3.1　二次型的惯性定理 195

7.3.2　正定二次型 196

习题7-3 198

7.4　二次型在研究二次曲面中的应用 199

7.4.1 二次圆锥曲线方程化标准形 199

7.4.2　二次曲面方程化标准形 200

习题7-4 203

总习题七 204

数学实验七：用Mathematica进行二次型的运算 204

第八章　线性空间与线性变换 207

8.1　线性空间的概念 207

8.1.1　线性空间的定义 207

8.1.2　线性空间的基、维数与坐标 209

8.1.3　子空间 210

习题8-1 211

8.2　线性变换 211

8.2.1 线性变换的概念 211

8.2.2　线性变换的矩阵表示 214

习题8-2 219

总习题八 219

第九章　数学软件与应用 221

9.1　初识Mathematica 221

9.1.1 Mathematica的启动 222

9.1.2 Mathematica的工作环境 222

9.1.3 Mathematica的数学运算 224

9.1.4 Mathematica的函数 226

9.1.5　几个方便的输入方法 227

9.2　向量、矩阵及其运算 228

9.2.1　构造向量和矩阵 228

9.2.2　向量与矩阵的运算 230

9.2.3　矩阵的逆 232

9.2.4　矩阵的特征值和特征向量 232

9.2.5　求解线性系统 233

9.2.6　实例 235

9.3 Mathematica的绘图功能 237

9.3.1　一元函数的图形 237

9.3.2　二元函数的图形 239

9.3.3　其他图形的描绘 240

9.3.4　绘图函数Plot,ParametricPlot,ListPlot的有关选项 241

9.3.5　绘图函数Plot3D的有关选项 242

习题参考答案 244