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第一章 数学基础 1

1.1逻辑、集合、函数和Cartesian积 1

1.1.1逻辑 1

1.1.2集合 1

1.1.3函数 3

1.1.4 Cartesian积 4

1.2环和域的概念 4

1.2.1群的定义 5

1.2.2环的定义 5

1.2.3域的定义 6

1.2.4几个重要命题 8

1.2.5应用域的概念扩展已得定理使用的例子 9

1.3线性空间的概念 9

1.3.1定义和举例 9

1.3.2子空间的概念 11

1.3.3积空间的概念 12

1.4线性相关、生成、基底和维数 12

1.5线性变换 14

1.6线性变换的矩阵表示 16

1.7矩阵表示和基底的改变 18

1.8值域和零空间 20

1.9零空间的基底 22

1.10值域的基底 25

1.11赋范的线性空间 27

1.11.1向量的范数 28

1.11.2分段连续函数的范数 28

1.11.3矩阵的范数 29

1.11.4线性变换A的范数 29

1.12不变子空间、子空间的直和与正交子空间 30

1.12.1不变子空间 30

1.12.2子空间的直和 31

1.12.3纯量积与正交子空间 32

1.13伴随 33

1.13.1伴随的定义 33

1.13.2伴随的性质 34

1.14收敛 35

1.15 Lipschitz条件 35

1.16微分方程 37

1.16.1假设 37

1.16.2基本定理 38

1.16.3用迭代法构造微分方程的解 38

1.17 Bell man -Gronwall引理 40

1.18唯一性 41

习题 42

第二章 系统理论基础 45

2.1基本概念 45

2.1.1物理系统、模型和系统表达式 45

2.1.2示例 46

2.1.3动力学系统 48

2.2等值 53

2.2.1等值状态 53

2.2.2等值动力学系统表达式 53

2.3定常动力学系统 53

2.4线性动力学系统 57

2.4.1定义 57

2.4.2分解性质 58

2.4.3零状态响应的线性性质 58

2.4.4零输入响应的线性性质 58

习题 59

第三章 线性动力学系统表达式 60

3.1定义 60

3.2线性微分方程 61

3.2.1线性齐次微分方程 61

3.2.2状态转移矩阵 62

3.3状态转移矩阵的性质 66

3.4状态转移函数 68

3.4.1启发式的推导 69

3.4.2详细的叙述 69

3.5变分方程 71

3.6伴随方程 72

3.7伴随系统 73

3.8最优化的例子 75

3.9脉冲响应矩阵 77

习题 78

第四章 线性定常动力学系统表达式（相异特征值的情况） 80

4.1状态转移函数 80

4.2用Laplace变换计算eAte 82

4.3相异特征值（代数观点） 83

4.4相异特征值（几何观点） 86

4.4.1特征向量基底 86

4.4.2用基底表示矩阵A及其函数 87

4.4.3 ei的动力学解释 88

4.4.4当λi是复数时的解释 89

4.4.5变量的变换——解耦 91

4.4.6框图解释 91

4.5纯量传递函数的零点 93

4.6 h（s）有用的实现 95

习题 100

第五章 线性定常动力学系统表达式（重特征值的情况） 101

5.1基本知识 101

5.1.1关于不变子空间和子空间直和的几个命题 101

5.1.2表示定理 102

5.2最小多项式 102

5.2.1定义 102

5.2.2符号及它们的一些性质 103

5.3分解定理 104

5.4 Jordan型 106

5.4.1 Jordan型的示例 109

5.4.2 Jordan型的一般形式及相应的基底 110

5.5框图表示 112

5.6矩阵函数 113

5.6.1矩阵多项式 113

5.6.2矩阵函数 115

5.6.3 f （A）的计算 116

5.7周期性变系数微分方程 118

5.8线性映射伴随的基本预备定理及其应用 120

5.8.1基本预备定理 120

5.8.2 Ax＝b解的存在性与唯一性 121

5.9 Hermitian矩阵 122

习题 124

第六章 离散时间系统 126

6.1差分方程 126

6.2离散时间系统表达式 127

6.2.1定义 127

6.2.2状态转移矩阵 127

6.2.3完全响应 128

6.2.4伴随方程 128

6.3由连续时间系统表达式向离散时间系统表达式的变换 129

第七章 稳定性 131

7.1有界函数 131

7.2用重叠积分描述系统的有界输入-有界输出的稳定性 132

7.3 x ＝A（t）x（t）的稳定性 135

7.3.1 Lyapunov稳定性 135

7.3.2渐近稳定 138

7.3.3 Lyapunov函数 140

7.3.4离散时间系统xk＋1 ＝Axk的稳定性 141

7.4有界输入-有界状态稳定性 143

7.5弱非线性系统 144

习题 146

第八章 实现 147

8.1等值 147

8.1.1代数等值 147

8.1.2代数等值的性质 149

8.1.3实现 150

8.2基本预备定理 151

8.2.1预备知识 151

8.2.2基本预备定理 151

8.3可控性 153

8.3.1定义和举例 153

8.3.2特征描述 155

8.3.3线性定常情况的特征描述 156

8.3.4可控部分的离析 158

8.3.5离散时间系统的可控性和可达性 160

8.4可观测性 161

8.4.1定义 161

8.4.2特征描述 162

8.4.3对偶性 163

8.4.4定常情况的特征描述 164

8.4.5不可观部分的删除 165

8.4.6离散时间系统的可观测性 170

8.5线性定常系统的最小实现 171

8.5.1最小性 171

8.5.2 Kalman标准结构定理 179

习题 183

第九章 线性定常反馈系统 185

9.1指数稳定性 185

9.2单位反馈情况（传递函数描述） 188

9.2.1 SISO的单位反馈系统 188

9.2.2 MIMO的单位反馈系统 189

9.2.3 MIMO的单位反馈系统（G（s）为严格常态的） 191

9.3动态反馈（状态空间表达式） 192

9.4动态反馈（传递函数描述） 194

9.4.1基本关系 194

9.4.2闭环系统的指数稳定性 196

9.4.3关于SISO情况的注记 198

9.5集总系统的多变量Nyquist判据 200

习题 206

附录A 交换环K及其上元素构成的Kn×n的一些性质 207

附录B 多项式、多项式矩阵和常态有理矩阵的互质分式 210

参考文献 216