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第1章 动力系统引言 1

1.1动力系统的定义 1

1.1.1状态空间 1

1.1.2时间 4

1.1.3发展算子 4

1.1.4动力系统定义 6

1.2轨道与相图 7

1.3不变集 9

1.3.1定义与类型 9

1.3.2 Smale马蹄 10

1.3.3不变集的稳定性 14

1.4微分方程与动力系统 16

1.5 Poincare映射 21

1.5.1时间-移位映射 21

1.5.2 Poincare映射和环的稳定性 23

1.5.3周期强迫系统的Poincare映射 27

1.6练习 28

1.7附录A：由反应扩散方程定义的无穷维动力系统 30

1.8附录B：文献评注 33

第2章 动力系统的拓扑等价性、分支与结构稳定性 34

2.1动力系统的等价性 34

2.2一般平衡点与不动点的拓扑分类 40

2.2.1连续-时间系统的双曲平衡点 40

2.2.2离散-时间系统的双曲不动点 43

2.2.3双曲极限环 47

2.3 分支与分支图 49

2.4分支的拓扑规范形 54

2.5结构稳定性 58

2.6练习 62

2.7附录：文献评注 65

第3章 连续-时间系统平衡点的单参数分支 68

3.1最简单的分支条件 68

3.2折分支规范形 69

3.3一般折分支 72

3.4 Hopf分支规范形 74

3.5 一般Hopf分支 78

3.6练习 91

3.7附录A：引理3.2的证明 95

3.8附录B：Poincare规范形 97

3.9附录C：文献评注 104

第4章 离散-时间系统不动点的单参数分支 106

4.1最简单的分支条件 106

4.2折分支规范形 109

4.3 一般折分支 110

4.4翻转分支的规范形 113

4.5一般翻转分支 115

4.6 Neimark-Sacker分支的“规范形” 118

4.7一般Neimark-Saker分支 122

4.8练习 129

4.9 附录A：Feigenbaum普适性 130

4.10附录B：引理4.3的证明 133

4.11附录C：文献评注 139

第5章 n维动力系统的平衡点分支与周期轨道分支 141

5.1中心流形定理 141

5.1.1连续-时间系统的中心流形 141

5.1.2离散-时间系统的中心流形 146

5.2依赖于参数的系统的中心流形 148

5.3极限环分支 151

5.3.1环的折分支 152

5.3.2环的翻转分支 152

5.3.3环的Neimark-Sacker分支 152

5.4中心流形的计算 153

5.4.1 ODEs的限制规范化方程 154

5.4.2映射的限制规范化方程 163

5.5练习 168

5.6附录A：反应扩散系统的Hopf分支 171

5.7附录B：文献评注 174

第6章 双曲平衡点的同宿轨道分支与异宿轨道分支 176

6.1同宿轨道和异宿轨道 176

6.2 Andronov-Leontovich定理 180

6.3三维系统中的同宿分支：Shil′nikov定理 191

6.4 n维系统中的同宿分支 203

6.4.1正则同宿轨道：Melnikov积分 203

6.4.2同宿中心流形 207

6.4.3 Rn中一般同宿分支 209

6.5练习 211

6.6附录A：四维系统中的焦-焦点同宿分支 214

6.7附录B：文献评注 218

第7章 连续-时间动力系统中的其他单参数分支 221

7.1非双曲平衡点的同宿轨道余维1分支 221

7.1.1平面上的鞍-结点同宿分支 222

7.1.2 R3中的鞍-结点和鞍-鞍点同宿分支 224

7.2极限环的同宿轨道分支 232

7.2.1双曲环的非横截同宿轨道 232

7.2.2非双曲极限环的同宿轨道 236

7.3 不变环面上的分支 238

7.3.1 Poincare映射的简化 238

7.3.2旋转数与轨道结构 239

7.3.3结构稳定性和分支 241

7.3.4 Neimark-Sacker分支附近的锁相：Arnold舌 242

7.4对称系统中的分支 245

7.4.1对称系统的一般性质 245

7.4.2 Z2等价系统 247

7.4.3 Z2等价系统平衡点的余维1分支 248

7.4.4 Z2等价系统中环的余维1分支 250

7.5练习 255

7.6附录：文献评注 257

第8章 连续-时间动力系统平衡点的双参数分支 259

8.1平衡点的余维2分支一览 259

8.1.1余维1分支曲线 259

8.1.2余维2分支点 262

8.2尖分支 265

8.2.1规范形的推导 265

8.2.2规范形的分支图 268

8.2.3高阶项的影响 269

8.3 Bautin（广义Hopf）分支 271

8.3.1规范形的推导 271

8.3.2规范形的分支图 275

8.3.3 高阶项的影响 276

8.4 Bogdanov-Takens（零-零）分支 277

8.4.1规范形的推导 277

8.4.2 规范形的分支图 284

8.4.3高阶项的影响 287

8.5折-Hopf分支 292

8.5.1规范形的推导 292

8.5.2截断规范形的分支图 298

8.5.3高阶项的影响 303

8.6 Hopf-Hopf分支 308

8.6.1规范形的推导 309

8.6.2截断规范形的分支图 316

8.6.3高阶项的影响 325

8.7 n维系统的临界规范形 327

8.7.1方法 327

8.7.2尖分支 329

8.7.3 Bautin分支 331

8.7.4 Bogdanov-Takens分支 333

8.7.5折-Hopf分支 335

8.7.6 Hopf-Hopf分支 339

8.8练习 341

8.9附录A：Bogdanov规范形的极限环与同宿轨道 353

8.10附录B：文献评注 361

第9章 离散-时间动力系统不动点的双参数分支 364

9.1不动点的余维2分支一览 364

9.2尖分支 368

9.3广义翻转分支 370

9.4 Chenciner（广义Neimark-Sacker）分支 373

9.5强共振 377

9.5.1流近似 377

9.5.2 1：1共振 379

9.5.3 1：2共振 390

9.5.4 1：3共振 401

9.5.5 1：4共振 408

9.6折-翻转分支 418

9.7 n维映射的临界规范形 431

9.7.1尖分支 432

9.7.2 广义翻转分支 433

9.7.3 Chenciner分支 434

9.7.4 1：1共振 436

9.7.5 1：2共振 437

9.7.6 1：3共振 438

9.7.7 1：4共振 439

9.7.8折-翻转分支 440

9.8极限环的余维2分支 441

9.9练习 448

9.10附录：文献评注 452

第10章 分支的数值分析 455

10.1在固定参数值的数值分析 455

10.1.1平衡点的定位 455

10.1.2 Newton法的修正 457

10.1.3平衡点分析 460

10.1.4极限环的定位 463

10.2单参数分支分析 468

10.2.1平衡点与环的延拓 469

10.2.2余维1分支的探测和定位 473

10.2.3 余维1分支分析 477

10.2.4分枝点 484

10.3双参数分支分析 489

10.3.1平衡点与不动点的余维1分支的延拓 490

10.3.2极限环余维1分支的延拓 495

10.3.3余维1同宿轨道的延拓 498

10.3.4余维2分支的探测、定位与分析 501

10.4延拓策略 503

10.5练习 504

10.6附录A：Newton法的收敛性定理 512

10.7附录B：双交错矩阵积 512

10.8附录C：余维2同宿分支的探测 518

10.8.1通过特征值可探测的奇异性 519

10.8.2轨道翻转与倾角翻转 521

10.8.3沿着鞍-结点同宿曲线的奇异性 524

10.9附录D：文献评注 525

附录 代数、分析和几何的基本概念 530

A.1代数 530

A.1.1矩阵 530

A.1.2向量空间与线性变换 532

A.1.3 特征向量与特征值 533

A.1.4不变子空间、广义特征向量与Jordan标准型 534

A.1.5 Fredholm交替定理 535

A.1.6群 535

A.2分析 536

A.2.1隐函数定理和反函数定理 536

A.2.2 Taylor展开 537

A.2.3 距离空间、赋范空间与其他空间 538

A.3几何 539

A.3.1集合 539

A.3.2映射 540

A.3.3流形 540

参考文献 542

索引 567