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第十一章 多元函数微分法及其应用 1

11.1　多元函数的概念 1

一、邻域和区域的概念 1

二、多元函数的概念 4

三、二元函数的图形 7

11.2　二元函数的极限与连续 8

一、二元函数的极限 8

二、二元函数的连续性 11

11.3　偏导数 14

一、偏导数的概念 14

二、偏导数的求法 17

三、二元函数偏导数的几何意义 19

四、高阶偏导数 20

11.4　全微分 22

一、全微分的概念 22

二、全微分在近似计算和误差估计中的应用 29

11.5　多元复合函数的导数 32

一、多元复合函数的求导法则 32

二、多元复合函数的高阶偏导数 39

11.6　隐函数的求导公式 43

一、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f（x）的求导公式 43

二、由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f（x,y）的求导公式 44

三、由方程组所确定的隐函数的导数 46

11.7　方向导数与梯度 48

一、方向导数 48

二、梯度 51

11.8微分法在几何上的应用 53

一、空间曲线的切线与法平面及其方程 53

二、空间曲面的切平面与法线及其方程 56

11.9　多元函数的极值 61

一、多元函数的极值与最值 61

二、条件极值拉格朗日乘数法 68

学习指导 73

第十二章　重积分 84

12.1　二重积分的概念与性质 84

一、二重积分的概念 84

二、二重积分的性质 88

12.2　二重积分在直角坐标系中的计算法 92

12.3　二重积分在极坐标系中的计算法 102

12.4　二重积分的应用 110

一、曲面的面积 111

二、平面薄片的重心 115

三、平面薄片的转动惯量 119

12.5 三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法 121

一、三重积分的概念 121

二、三重积分在直角坐标系中的计算法 123

12.6　利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 130

一、利用柱面坐标计算三重积分 130

二、利用球面坐标计算三重积分 134

12.7　三重积分的应用举例 138

学习指导 145

第十三章 曲线积分与曲面积分 161

13.1　对弧长的曲线积分 161

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 161

二、对弧长的曲线积分的计算法 164

13.2　对坐标的曲线积分 170

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 170

二、对坐标的曲线积分的计算法 175

三、两类曲线积分之间的关系 184

13.3　格林公式 185

13.4　平面上曲线积分与路径无关的问题 193

一、平面上曲线积分与路径无关的条件 193

二、二元函数的全微分求积 198

13.5　对面积的曲面积分 206

一、对面积的曲面积分的概念与性质 207

二、对面积的曲面积分的计算法 209

13.6　对坐标的曲面积分 216

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 216

二、对坐标的曲面积分的计算法 220

三、两类曲面积分之间的关系 227

13.7　高斯公式 228

学习指导 233

第十四章 常数项级数与幂级数 247

14.1　常数项级数的概念和性质 247

一、常数项级数及其收敛与发散的概念 247

二、级数收敛的必要条件 251

三、级数的基本性质 252

14.2　正项级数的审敛法 255

一、正项级数及其收敛的充要条件 256

二、比较审敛法及其极限形式 257

三、比值审敛法［达朗贝尔（D'Alembert）判别法］ 260

四、根值审敛法［柯西（Cauchy）判别法］ 263

14.3　任意项级数的审敛法 265

一、交错级数及其审敛法 265

二、任意项级数的收敛性——绝对收敛与条件收敛 268

14.4 函数项级数的概念与幂级数 270

一、函数项级数的概念 271

二、幂级数及其收敛性 272

三、幂级数的运算 277

14.5　把函数展开成幂级数 281

一、泰勒级数 281

二、把函数展开成幂级数 283

14.6 函数的幂级数展开式的应用 291

一、近似计算 291

二、欧拉公式 296

学习指导 298

第十五章　傅立叶级数 320

15.1 周期为2π的函数的傅立叶级数 320

一、三角级数及三角函数系的正交性 320

二、周期为2π的函数的傅立叶级数及其收敛性 322

三、把周期为2π的函数展开为傅立叶级数 324

四、把定义在［－π，π］上的函数展开为傅立叶级数 328

15.2　正弦级数和余弦级数 333

一、正弦级数和余弦级数 333

二、把定义在［0，π］上的函数展开为正弦（或余弦）级数 338

15.3　周期为2l的周期函数的傅立叶级数 340

学习指导 346

第十六章　微分方程 360

16.1　微分方程的基本概念 360

一、引例 360

二、微分方程的基本概念 362

16.2　变量可分离的微分方程及齐次方程 364

一、变量可分离的微分方程 365

二、齐次方程 368

16.3　一阶线性微分方程与贝努利方程 374

一、一阶线性微分方程 374

二、贝努利方程 380

16.4　全微分方程 382

16.5　一阶微分方程的应用举例 386

16.6　可降阶的高阶微分方程 396

一、y(n)=f（x）型的微分方程 396

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 397

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 399

16.7　二阶线性微分方程解的性质与通解结构 402

一、二阶线性齐次微分方程解的性质与通解结构 402

二、二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 405

16.8　二阶常系数线性齐次微分方程 407

16.9　二阶常系数线性非齐次微分方程 414

一、f(x)=Pm(x)eλx型 414

二、f(x)=eλx（Acosωx+Bsinωx）型 419

16.10　高阶微分方程的应用举例 423

学习指导 435