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第一篇　一元微积分第一章　函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的基本性态 3

三、反函数 5

四、初等函数 6

第二节　数列极限 11

一、数列极限的概念 11

二、数列收敛的条件 14

第三节　函数极限 15

一、x→∞的情形 15

二、x→xo的情形 16

三、无穷小 18

四、无穷大 18

第四节　极限运算法则 20

一、无穷小的运算法则 20

二、极限四则运算法则 21

第五节　两个重要极限 25

一、极限存在准则 25

二、两个重要极限 26

三、无穷小的比较 28

第六节 函数的连续性 30

一、函数连续的概念 30

二、函数的间断点 32

第七节　初等函数的连续性 34

一、连续函数的四则运算 34

二、反函数与复合函数的连续性 35

三、初等函数的连续性 36

第八节 闭区间上连续函数的性质 38

一、最值性质 38

二、介值性质 39

第二章　导数与微分 41

第一节　导数的概念 41

一、两个实例 41

二、导数概念 42

三、求导数举例 44

四、导数的几何意义 46

五、可导与连续的关系 47

第二节　基本求导法则 48

一、四则求导法则 48

二、反函数求导法则 49

三、基本导数公式 51

第三节　初等函数的导数 52

一、复合求导法则 52

二、初等函数的导数 53

第四节　高阶导数 54

第五节 隐函数与参数求导法则 57

一、隐函数求导法则 57

二、参数求导法则 59

三、相关变化率 60

第六节　函数的微分 62

一、微分的概念 62

二、微分的运算法则 64

第七节　微分学中值定理 67

第三章　不定积分 71

第一节　不定积分的概念与性质 71

一、原函数与不定积分概念 71

二、基本积分公式 73

三、不定积分的性质 74

第二节　换元积分法 76

一、第一换元法（凑微分法） 77

二、第二换元法 81

第三节　分部积分法 88

第四章　定积分 94

第一节　定积分的概念 94

一、两个实例 94

二、定积分的概念 96

三、定积分的几何意义 98

第二节　定积分的性质 99

第三节　微积分基本定理 102

一、变上限定积分 102

二、微积分基本定理 103

第四节　定积分的算法 105

一、定积分的换元法 105

二、定积分的分部积分法 108

第五节　广义积分 111

一、无穷限广义积分 111

二、无界函数广义积分 112

第二篇　一元微积分的应用第五章　导数与微分的应用 114

第一节　未定式极限的求法 114

一、0/0及∞/∞型未定式 114

二、其他型未定式 119

第二节 函数单调性的判别法 121

第三节 函数极值的求法 123

第四节 函数最值的求法 127

第五节 曲线凹凸及拐点的判别法 130

一、曲线的凹凸性及其判别法 130

二、曲线的拐点及其求法 132

第六节　函数作图法 133

第七节　微分的应用 137

一、弧微分公式 137

二、微分在近似计算中的应用 138

三、曲率及其计算公式 139

四、曲率圆与曲率半径 142

第八节　导数的经济学应用 144

一、成本函数与收入函数 144

二、边际分析 144

三、弹性分析 146

第六章　定积分的应用 150

第一节　平面图形面积的求法 150

一、直角坐标情形 150

二、参数方程情形 152

三、极坐标情形 153

第二节　体积的求法 156

一、旋转体的体积 156

二、已知截面立体的体积 158

第三节　平面曲线弧长的求法 159

一、直角坐标情形 159

二、参数方程情形 160

三、极坐标情形 161

第四节 定积分的物理学应用 162

一、变力沿直线的功 162

二、液体静压力 164

第五节　定积分的经济学应用 166

一、已知边际求总量 166

二、资金流量及其现值 167

第七章　常微分方程 171

第一节　基本概念 171

第二节　一阶微分方程的解法 174

一、可分离变量的微分方程 174

二、齐次方程 175

三、数学建模举例 177

第三节　一阶线性微分方程的解法 181

一、一阶齐次线性微分方程的解法 181

二、一阶非齐次线性微分方程的解法 181

三、一阶非齐次线性微分方程通解的结构 184

第四节　可降阶的高阶微分方程的解法 186

一、y(n)=f（x）型 186

二、y"=f（x,y'）型 187

三、y"=f（y,y'）型 188

第五节　二阶线性微分方程解的结构 189

一、两个数学模型 189

二、二阶线性微分方程及其解的结构 191

第六节　二阶常系数齐次线性微分方程 194

第七节　二阶常系数非齐次线性微分方程 197

一、f(x)=Pm(x)eax型 198

二、f(x)=eax（A1cosβx+B1sinβx）型 199

第八章　无穷级数 202

第一节　常数项级数 202

一、级数的概念 202

二、数项级数的基本性质 204

三、正项级数及其审敛法 206

四、交错级数及其审敛法 210

五、绝对收敛与条件收敛 211

第二节　幂级数 214

一、幂级数的概念 214

二、幂级数的收敛性 215

三、幂级数的运算 219

第三节 函数的幂级数展开 221

一、泰勒级数 221

二、函数的幂级数展开 225

第四节　傅里叶级数 229

一、三角级数 229

二、以2π为周期的函数的傅氏级数 231

第五节　任意区间上的傅氏级数 238

一、［-π,π］上的傅氏级数 238

二、［0,π］上的傅氏级数 240

三、以2l为周期的函数的傅氏级数 242

第九章　数值计算方法 247

第一节　误差简介 247

一、误差的来源 247

二、绝对误差与相对误差 247

三、有效数字 248

第二节　函数近似值的幂级数算法 249

第三节　方程的近似解法 253

一、根的隔离 253

二、二分法 254

三、切线法 256

第四节　定积分的近似计算 258

一、矩形法 259

二、梯形法 260

三、抛物线法 260

第五节　常微分方程的数值解法 262

一、欧拉折线法（矩形法） 263

二、改进的欧拉法（梯形法） 264

三、龙格-库塔法 265

第六节　插值函数 268

一、问题的提出 268

二、线性插值与抛物插值 269

三、拉格朗日插值公式 271

四、均差插值公式 273

第三篇 多元微积分及其应用第十章 向量与空间解析几何 278

第一节 空间直角坐标系与向量 278

一、空间直角坐标系 278

二、向量及其线性运算 279

三、向量的坐标 282

第二节 向量的数量积与向量积 287

一、向量的数量积 287

二、向量的向量积 289

第三节　平面与直线 292

一、曲面方程的概念 292

二、平面方程 293

三、空间直线方程 296

第四节　特殊曲面与空间曲线 301

一、球面 301

二、旋转曲面 302

三、柱面 304

四、二次曲面 305

五、空间曲线的方程 307

第十一章　多元函数微分法及其应用 312

第一节　多元函数的极限与连续 312

一、区域 312

二、多元函数概念 313

三、二元函数的极限与连续 316

第二节　偏导数 319

一、偏导数概念 319

二、偏导数的几何意义 322

三、高阶偏导数 323

第三节　全微分 325

一、可微的概念与条件 325

二、全微分的应用 328

第四节　多元复合求导法则 330

一、多元复合求导法则 330

二、隐函数求导法则 334

第五节　偏导数的几何应用 340

一、一元向量值函数及其导数 340

二、空间曲线的切线与法平面 342

三、曲面的切平面与法线 344

第六节　方向导数与梯度 347

一、方向导数 347

二、梯度 349

第七节　多元函数的极值问题 352

一、二元函数极值的概念与求法 352

二、最大值与最小值的求法 354

三、条件极值与拉格朗日乘数法 356

第十二章 多元函数积分法及其应用 359

第一节　二重积分的概念及性质 359

一、两个实例 359

二、二重积分的概念 360

三、二重积分的性质 361

第二节　二重积分的计算 363

一、直角坐标情形 363

二、极坐标情形 368

第三节　二重积分的应用 373

一、曲面的面积 373

二、平面薄片的重心 375

三、平面薄片的转动惯量 377

第四节　三重积分 378

一、三重积分的概念与性质 378

二、三重积分的计算 379

第五节　对弧长的曲线积分 384

一、概念与性质 384

二、计算方法 386

第六节　对坐标的曲线积分 388

一、概念与性质 388

二、计算方法 391

三、两类曲线积分间的关系 395

第七节　格林公式及其应用 396

一、格林公式 396

二、平面曲线积分与路径无关的条件 398

三、二元函数的全微分求积 400

第八节 曲面积分 402

一、对面积的曲面积分 402

二、对坐标的曲面积分 405

三、两类曲面积分间的关系 409

第九节　高斯公式与斯托克斯公式 412

一、高斯公式、通量和散度 412

二、斯托克斯公式、环流量与旋度 413

附录 418

习题答案 434