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第1章　集合代数 1

1.1　集合的概念与表示 1

1.1.1　集合及其元素 1

1.1.2　集合的表示 2

1.1.3　外延性公理与子集合 3

练习1.1 4

1.2　集合运算 7

1.2.1　并、交、差、补运算 7

1.2.2　幂集运算和广义并、交运算 9

1.2.3　集合的笛卡儿积 11

练习1.2 13

1.3　集合的归纳定义的意义 16

1.3.1　集合的归纳定义 16

1.3.2　集合定义的自然数 17

练习1.3 19

第2章　两个常用数学基本原理 20

2.1 归纳原理 20

2.1.1　结构归纳原理 20

2.1.2　数学归纳原理 21

练习2.1 24

2.2　鸽笼原理 25

2.2.1　鸽笼原理的基本形式 25

2.2.2　鸽笼原理的加强形式 27

练习2.2 28

第3章　组合论基础——计数 30

3.1　计数基本原理 30

3.1.1　加法原理和乘法原理 30

3.1.2　包含排斥原理 31

练习3.1 33

3.2　排列与组合 34

3.2.1　排列的计数 34

3.2.2　组合的计数 35

练习3.2 36

3.3　重集的排列与组合 38

3.3.1　重集的排列 38

3.3.2　重集的组合 40

3.3.3　禁位排列的计数 42

练习3.3 43

3.4　递归关系 44

3.4.1　一个重要的递归关系 45

3.4.2　递归关系的求解 47

练习3.4 54

第4章　逻辑代数（上）：命题演算 56

4.1　命题与逻辑联结词 56

4.1.1　命题 56

4.1.2　逻辑联结词 58

4.1.3　命题公式 59

4.1.4　语句的形式化 61

练习4.1 62

4.2　逻辑等价式和逻辑蕴涵式 64

4.2.1 重言式 64

4.2.2　逻辑等价式和逻辑蕴涵式 65

4.2.3　对偶原理 68

练习4.2 69

4.3　范式 71

4.3.1　析取范式和合取范式 71

4.3.2　主析取范式与主合取范式 73

4.3.3　联结词的扩充与归约 74

练习4.3 77

第5章　逻辑代数（下）：谓词演算 79

5.1　谓词演算基本概念 79

5.1.1　个体与个体域 79

5.1.2　谓词与谓词填式 80

5.1.3　量词及其辖域 81

5.1.4　谓词公式及语句的形式化 82

练习5.1 85

5.2　谓词演算永真式 88

5.2.1　谓词公式的真值规定 88

5.2.2　谓词演算永真式 89

5.2.3　关于永真式的几个基本原理 91

练习5.2 93

5.3　谓词公式的前束范式 95

练习5.3 96

第6章　形式系统与推理技术 98

6.1　谓词演算形式系统FC 98

6.1.1　FC的基本构成 98

6.1.2　系统内的推理：证明与演绎 99

6.1.3　FC的重要性质 100

练习6.1 103

6.2 自然推理形式系统ND 104

6.2.1　ND的基本构成 104

6.2.2　ND的系统内推理及性质 107

练习6.2 112

第7章　图 115

7.1　图的基础知识 116

7.1.1　图的基本概念 116

7.1.2　结点的度 117

7.1.3　子图、补图及图同构 118

练习7.1 119

7.2　路径、回路及连通性 121

7.2.1　路径与回路 121

7.2.2　连通性 122

7.2.3　连通度 124

练习7.2 125

7.3　欧拉图与哈密顿图 127

7.3.1　欧拉图及欧拉路径 127

7.3.2　哈密顿图及哈密顿通路 129

练习7.3 132

7.4　图的矩阵表示 133

7.4.1　邻接矩阵 133

7.4.2　路径矩阵与可达性矩阵 135

练习7.4 137

第8章　二分图、平面图和树 138

8.1　二分图 138

8.1.1　二分图的基本概念 138

8.1.2　匹配 139

练习8.1 142

8.2　平面图 143

8.2.1　平面图的基本概念 143

8.2.2　欧拉公式和库拉托夫斯基定理 145

8.2.3　着色问题 148

练习8.2 151

8.3　树 152

8.3.1　树的基本概念 152

8.3.2　生成树 153

8.3.3　根树 157

练习8.3 163

第9章　关系 165

9.1　关系 165

9.1.1　关系的基本概念 165

9.1.2　关系的基本运算 168

9.1.3　关系的基本特性 173

9.1.4　关系特性闭包 176

练习9.1 178

9.2　等价关系 182

9.2.1　等价关系与等价类 182

9.2.2　等价关系与划分 183

练习9.2 188

9.3　序关系 189

9.3.1　序关系和有序集 189

9.3.2　良基性与良序集，完备序集 193

9.3.3　全序集与良序集的构造 195

练习9.3 196

第10章　函数 200

10.1 函数及函数的合成 200

10.1.1 函数的基本概念 200

10.1.2　函数概念的拓广 203

10.1.3　函数的合成 204

10.1.4　函数的递归定义 205

练习10.1 207

10.2　特殊函数类 208

10.2.1　单射的、满射的和双射的函数 208

10.2.2　规范映射、单调映射和连续映射 210

练习10.2 212

10.3　函数的逆 213

练习10.3 215

10.4　有限集和无限集 216

10.4.1　有限集、可数集与不可数集 216

10.4.2　无限集的特性 219

10.4.3　有限集和无限集的基数 220

10.4.4　基数比较 222

练习10.4 224

第11章　递归函数集与可计算性 226

11.1　初等函数集 226

11.1.1　初等函数 226

11.1.2　初等谓词 229

练习11.1 231

11.2　原始递归函数集 232

11.2.1　初等函数集的不足 232

11.2.2　原始递归式 233

11.2.3　原始递归函数 234

练习11.2 236

11.3　递归函数集 236

11.3.1 阿克曼函数及其性质 236

11.3.2　μ-递归式 238

11.3.3　递归函数集（μ-递归函数集） 239

练习11.3 240

11.4　图灵机与可计算函数集 240

11.4.1 图灵机 240

11.4.2　图灵可计算函数 243

练习11.4 246

第12章　代数结构概论 248

12.1　代数结构 248

12.1.1　代数结构的意义 248

12.1.2　代数结构的特殊元素 249

12.1.3　子代数结构 252

练习12.1 253

12.2　同态、同构及同余 255

12.2.1　同态与同构 255

12.2.2　同余关系 259

练习12.2 261

12.3　商代数 262

练习12.3 264

第13章　群、环、域 266

13.1 半群 266

13.1.1　半群及独异点 266

13.1.2　自由独异点 267

13.1.3　高斯半群 268

练习13.1 270

13.2　群 271

13.2.1　群及其基本性质 271

13.2.2　子群、陪集和拉格朗日定理 274

13.2.3　正规子群、商群和同态基本定理 276

练习13.2 278

13.3　循环群和置换群 280

13.3.1　循环群 280

13.3.2　置换群 281

练习13.3 284

13.4　环 285

13.4.1 环和整环 285

13.4.2　子环和理想 287

练习13.4 289

13.5　域和有限域 289

练习13.5 292

第14章　格与布尔代数 294

14.1　格 294

14.1.1　格——有序集 294

14.1.2　格代数 297

14.1.3　分配格和模格 300

练习14.1 302

14.2　布尔代数 303

14.2.1　有界格和有补格 303

14.2.2　布尔代数 305

14.2.3　布尔代数表示定理 307

14.2.4　布尔表达式与布尔函数 310

练习14.2 312

参考文献 314