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第4章　多元函数微分学及其应用 1

4.1　多元函数的基本概念 3

4.1.1 区域 3

4.1.2　多元函数的定义 4

4.1.3　多元函数的极限 6

4.1.4　多元函数的连续性 8

4.2　偏导数 9

4.2.1　偏导数的概念及其计算 9

4.2.2　高阶偏导数 12

4.3　全微分 13

4.3.1　全微分的概念 13

4.3.2 函数的连续、偏导存在和可微三者间的关系 14

4.4　多元复合函数的求导法 18

4.4.1　链式法则 18

4.4.2　全导数 21

4.5　隐函数的求导法 22

4.5.1 由方程确定的隐函数的（偏）导数存在定理 22

4.5.2 由方程组确定的多个隐函数的（偏）导数存在定理 23

4.5.3　一阶全微分形式不变性的应用 27

4.6　微分法在几何上的应用 28

4.6.1　空间曲线的切线与法平面 28

4.6.2　曲面的切平面与法线 32

4.6.3　全微分的几何意义 35

4.7　方向导数与梯度 36

4.7.1　二元函数的方向导数与梯度 36

4.7.2　三元函数的方向导数与梯度 41

4.8　多元函数的极值 42

4.8.1　多元函数的极值及应用 42

4.8.2　条件极值拉格朗日乘数法 46

4.9　应用举例 49

第4章习题 51

第4章综合习题 55

第5章　重积分 57

5.1　二重积分的概念与性质 59

5.1.1 引例 59

5.1.2　二重积分的概念 60

5.1.3　二重积分的性质 62

5.1.4　二重积分的对称性 64

5.2　二重积分的计算 65

5.2.1　利用直角坐标计算二重积分 65

5.2.2　利用极坐标计算二重积分 72

5.2.3　二重积分的换元法 76

5.3　二重积分的应用 79

5.3.1　曲面的面积 79

5.3.2　平面薄片的重心 81

5.3.3　平面薄片的转动惯量 83

5.3.4　平面薄片对质点的引力 85

5.4　三重积分的概念与计算 86

5.4.1　三重积分的概念与性质 86

5.4.2　利用直角坐标计算三重积分 88

5.4.3　利用柱面坐标计算三重积分 91

5.4.4　利用球面坐标计算三重积分 94

5.4.5　三重积分的换元法 97

5.4.6　三重积分的应用 98

第5章习题 101

第5章综合习题 105

第6章 曲线积分与曲面积分 107

6.1　对弧长的曲线积分 109

6.1.1　对弧长的曲线积分的概念与性质 109

6.1.2　对弧长的曲线积分计算 111

6.2　对坐标的曲线积分 115

6.2.1　对坐标的曲线积分的概念和性质 115

6.2.2　对坐标的曲线积分计算 118

6.2.3　两类曲线积分之间的联系 121

6.3　格林公式 122

6.3.1　格林公式 122

6.3.2　平面曲线积分与路径无关原函数 126

6.4　对面积的曲面积分 131

6.4.1　对面积的曲面积分的概念与性质 131

6.4.2　对面积的曲面积分计算 132

6.5　对坐标的曲面积分 136

6.5.1　对坐标的曲面积分的概念与性质 136

6.5.2　对坐标的曲面积分的计算方法 138

6.5.3　两类曲面积分之间的联系 141

6.6　高斯公式 143

6.6.1　高斯公式 143

6.6.2　对坐标的曲面积分与曲面无关的充要条件 147

6.7　斯托克斯公式 148

6.7.1　斯托克斯公式 148

6.7.2　空间曲线积分与路径无关的条件 150

6.8　场论简介 151

6.8.1　场的概念 151

6.8.2　通量与散度 151

6.8.3　环流量与旋度 153

6.9　应用举例 155

第6章习题 160

第6章综合习题 165

第7章　无穷级数 167

7.1　常数项级数的概念和性质 169

7.1.1　常数项级数的概念 169

7.1.2　无穷级数的基本性质 171

7.2　常数项级数的审敛法 173

7.2.1　正项级数及其审敛法 173

7.2.2　任意项级数的审敛法 179

7.3　幂级数 182

7.3.1　幂级数及其收敛性 183

7.3.2　幂级数的运算 187

7.4　函数展开成幂级数 189

7.4.1　泰勒级数 189

7.4.2　函数展开成幂级数 189

7.4.3　幂级数的应用 193

7.5　傅立叶级数 196

7.5.1　三角函数系的正交性 196

7.5.2　函数展开成傅立叶级数 197

7.6　应用举例 202

第7章习题 205

第7章综合习题 208

第8章　常微分方程 211

8.1　微分方程的建立及基本概念 213

8.1.1　微分方程的建立 213

8.1.2　微分方程的基本概念 214

8.2　一阶微分方程 216

8.2.1　变量可分离方程 216

8.2.2　可化为变量可分离的方程 217

8.2.3　一阶线性微分方程 219

8.2.4　伯努利（Bernoulli）方程 221

8.2.5　全微分方程（恰当方程）与积分因子 222

8.3　可降阶的高阶微分方程 226

8.3.1 y″=f（x）型微分方程 226

8.3.2　y″=f（x,y′）型微分方程 227

8.3.3　y″=f（y,y′）型微分方程 227

8.4　高阶线性微分方程 228

8.4.1　高阶线性微分方程的通结构 228

8.4.2　二阶常系数齐次线性微分方程 231

8.4.3　二阶常系数非齐次线性微分方程 233

8.4.4　常数变易法 238

8.4.5　欧拉方程 240

8.4.6　一阶常系数线性微分方程组 241

8.5　应用举例 242

第8章习题 247

第8章综合习题 249

习题答案 251