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第一篇 考研真题（数学一）与解答 1

A.2009年真题与解答 1

B.2010年真题与解答 13

C.2011年真题与解答 25

第二篇 快捷解题方法 37

A.高等数学 37

第一章 一元函数微分学 37

001数列单调性的快捷判别法 37

002由数列极限定义的函数表达式的快捷计算法 41

003等价无穷小的快捷寻找法 44

004 0/0型未定式极限的快捷计算法 49

005 x→∞时，∞/∞型未定式极限的快捷计算法 54

006 x→∞时，∞-∞型未定式极限的快捷计算法 55

007 0·∞型未定式极限的快捷计算法 58

008曲线的非铅直渐近线的快捷计算法 62

009分段函数导数的快捷计算法 64

010形如lim x→x0 f（u（x））-f（u（x0））/g（v（x））-g（v（x0））的0/0型未定式极限的快捷计算法 70

011函数g（x）|f（x）|不可导点的快捷计算法 72

012反函数不可导点的快捷计算法 74

013初等函数导数的快捷计算法 75

014初等函数f（x）在点x0处的高阶导数f（n） （x0）的快捷计算法 77

015初等函数高阶导数的快捷计算法 82

016平面曲线切线的快捷计算法 85

017存在ξ，使得f（ξ）=0的有关命题的快捷证明法 88

018存在ξ，使得f＇（ξ）=0的有关命题的快捷证明法 90

019存在ξ，使得G（ξ，f（ξ）,f＇（ξ））=0的有关命题的快捷证明法（Ⅰ） 92

020存在ξ，使得G（ξ，f（ξ），f＇（ξ））=0的有关命题的快捷证明法（Ⅱ） 95

021存在ξ，使得G（ξ，f（ξ），f＇（ξ），f″（ξ））=0的有关命题的快捷证明法 98

022存在ξ，使得f″（ξ）≤k（常数）的有关命题的快捷证明法 101

023恒等式的快捷证明法 103

024分段函数极值的快捷计算法 105

025函数最值的快捷计算法 108

026由函数图像确定导函数图像或由导函数图像确定函数性态的快捷方法 111

027函数不等式的快捷证明法 114

028方程f（x）=0实根个数的快捷判定法 119

第二章 一元函数积分学 123

029计算不定积分时，变量代换的快捷选定法 123

030利用分部积分快捷计算不定积分方法 128

031真分式不定积分的快捷计算法 132

032通过配置∫g（x） dx，快捷计算不定积分∫f（x）dx的方法 137

033不定积分∫a1 sin x + b1 cos x/asin x + bcos x dx的快捷计算法 140

034巧用换元积分法与分部积分法计算定积分的快捷方法 144

035利用被积函数奇偶性和周期性快捷计算定积分方法 147

036定积分值所在范围的快捷估计法 151

037积分上限函数导数的快捷计算法 155

038被积函数为分段函数的积分上限函数表达式的快捷计算法 158

039卷积型积分的快捷计算法 164

040利用定积分快捷计算和式极限方法 169

041在包含有f（x）的定积分的条件下，存在ξ，使得G（ξ， f（ξ），f′（ξ） =0的有关命题的快捷证明法 172

042存在ξ，使得G（ξ，f（ξ），∫ ξ α f（t） dt） =0的有关命题的快捷证明法 175

043定积分不等式的快捷证明法 177

044平面图形面积的快捷计算法 182

045 X型（或Y型）平面图形D绕平行于x轴（或y轴）但不穿过D的直线旋转一周而成的旋转体体积的快捷计算法 186

046立于斜轴上的曲边梯形旋转一周而成的旋转体体积的快捷计算法 189

第三章 多元函数微分学 192

047二重极限不存在的快捷判别法 192

048二元函数可微性的快捷判别法 194

049二元函数偏导数与二阶偏导数的快捷计算法 197

050由z=z（x，y）的全微分计算z=z（x，y）的快捷方法 202

051曲面切平面的快捷计算法 205

052二元函数条件极值的快捷计算法 208

053有界闭区域上二元连续函数最值的快捷计算法 214

第四章 多元函数积分学 218

054二重积分的快捷计算法 218

055卷积型二重积分的快捷计算法 222

056变积分区域上二重积分的快捷计算法 224

057二重积分取值范围的快捷估计法 226

058三重积分的快捷计算法 228

059二次积分积分次序的快捷更换法 233

060与旋转轴异面的线段所产生的旋转曲面方程与相关旋转体体积的快捷计算法 238

061空间曲线参数化的快捷方法 240

062关于弧长的曲线积分的快捷计算法 243

063关于坐标的平面曲线积分的快捷计算法 248

064关于坐标的空间曲线积分的快捷计算法 256

065两类曲线积分的快捷转换法 262

066关于面积的曲面积分的快捷计算法 265

067关于坐标的曲面积分的快捷计算法 269

068两类曲面积分的快捷转换法 279

069闭曲面围成的立体体积的快捷计算法 283

070曲面面积的快捷计算法 285

第五章 无穷级数与常微分方程 289

071正项级数收敛性的快捷判别法 289

072任意项级数收敛性的快捷判别法 294

073抽象级数收敛性的快捷证明法 298

074幂级数收敛域的快捷计算法 301

075函数幂级数的快捷展开法 306

076幂级数和函数的快捷计算法 311

077级数和的快捷计算法 315

078傅里叶级数或正、余弦级数和函数的快捷计算法 319

079一阶微分方程快捷求解法 324

080二阶微分方程的快捷求解法 327

081右端函数为分段函数的一阶线性微分方程的快捷求解法 330

082方程y（x）=∫ x 0 g（x，y（t））dt+h（x）的快捷求解法 335

B.线性代数 341

第六章 矩阵与向量 341

083矩阵式的快捷计算法 341

084数字矩阵逆矩阵的快捷计算法 344

085抽象矩阵可逆性判别与逆矩阵计算的快捷方法 348

086分块矩阵或经由初等变换后的矩阵的转置、求逆及伴随矩阵的快捷计算法 351

087向量组线性相关性的快捷判别法 354

088向量组的极大线性无关组的快捷计算法 358

089有关矩阵秩问题的快捷证明法 361

第七章 线性方程组 365

090由线性方程组的有解性确定其中参数的快捷方法 365

091两个线性方程组同解的快捷判别法 371

092两个线性方程组公共解的快捷计算法 374

093矩阵方程的快捷求解法 377

094有关线性方程组问题的快捷证明法 382

第八章 矩阵特征值与特征向量，二次型 385

095矩阵特征值与特征向量的快捷计算法 385

096由矩阵A的特征值与特征向量计算A中参数的快捷方法 392

097矩阵可否相似对角化的快捷判别法 396

098矩阵特征值与特征向量问题的快捷证明法 404

099由可逆线性变换化二次型为标准形的快捷方法 406

100由二次型f的标准形确定f中的参数或f的表达式的快捷方法 413

101有关正定二次型或正定矩阵问题的快捷证明法 418

C.概率论与数理统计 422

第九章 随机事件概率计算 422

102分层应用全概率公式快捷计算随机事件概率的方法 422

103条件概率的快捷计算法 424

104利用抽签原理快捷计算随机事件概率的方法 427

第十章 随机变量及其分布 431

105（一维）随机变量分布函数与分布律或概率密度的快捷换算法 431

106（一维）连续型随机变量函数的概率密度的快捷计算法 436

107与正态分布N（μ，σ2）有关问题的快捷计算法 440

108两个连续型随机变量独立性的快捷判定法 443

109二维连续型随机变量的两类条件概率的快捷计算法 446

110二维连续型随机变量函数的概率密度的快捷计算法 451

第十一章 随机变量的数字特征 4

111将离散型随机变量X表示成若干个随机变量之和，快捷计算X的数字特征方法 456

112利用常用随机变量的数字特征快捷计算连续型随机变量的数字特征方法 460

113与二维正态分布N（μ1，μ2，σ2 1，σ2 2，ρ）有关问题的快捷计算法 465

第十二章 数理统计 471

114来自正态总体的样本统计量分布的快捷确定法 471

115样本统计量数字特征的快捷计算法 475

116非正态总体未知参数置信区间的快捷计算法 480

参考文献 483