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第一章 广义函数的定义与一般性质 1

内容提要 1

1.函数概念的推广：测度的概念 2

记号 2

测度 3

支集 4

函数与测度 5

在开集上的限制 6

2.测度概念的推广.广义函数 7

偶极子 7

空间（？） 7

单位分解 8

拓扑空间（？K） 9

广义函数 10

广义函数与测度 10

3.局部化原理.广义函数的支集 11

在某个开集内为零的广义函数 11

“分片粘贴”原理 12

广义函数的支集 12

4.非负广义函数 13

5.各种推广 14

向量值广义函数 14

无穷可微流形上的广义函数 15

第二章 广义函数的求导 17

内容提要 17

1.导数的定义 18

正则函数的导数 18

广义函数的导数 19

2.求导的例子.单变量的情形（n=1） 19

间断函数.Heaviside函数Y（x）的各阶导数 20

分段正则函数的各阶导数 20

赝函数.Hadamard所定义的有限部分 21

单项式赝函数 24

3.求导的例子.多变量的情形 26

曲面上的间断函数 26

距离的函数 27

亚纯函数 30

双曲距离 31

流形上的求导 32

4.广义函数的原函数.单变量的情形 33

广义函数的原函数 33

测度的原函数 34

5.广义函数的原函数.多变量的情形 35

不依赖x1的广义函数 35

原函数的寻求 37

偏导数为函数的函数 37

6.多个偏导数已知的广义函数 39

一阶偏导数均为连续函数的广义函数 41

第三章 广义函数的拓扑空间 广义函数的结构 43

内容提要 43

1.拓扑空间（？） 44

空间（？K）的拓扑 44

空间（？）的拓扑 45

空间（？）的拓扑与空间（？）的拓扑之间的关系 46

2.空间（？）中的有界集 47

对偶空间的拓扑 47

空间（？）中的有界集 48

有界集与紧集；自反性 49

3.广义函数的拓扑空间（？） 49

空间（？′）中的收敛性 49

空间（？′）的拓扑性质 50

空间（？′）中的有界集与紧集；自反性 51

逼近定理 52

收敛判别准则 53

4.求导的拓扑定义 54

一阶导数 54

任意阶导数 54

单调函数 55

5.求导，连续线性运算 56

求导的连续性 56

收敛准则 57

6.广义函数的局部结构 57

广义函数与连续函数的导数 57

广义函数的有界集 59

收敛的广义函数序列 60

7.具有紧支集的广义函数 61

当？的支集任意时T（？）的定义 61

空间（？）与（？′） 62

空间（？）与（？′）之间的对偶 62

具有紧支集的广义函数的结构 63

8.广义函数的整体结构 67

9.正则支集 69

10.支集包含在某个子流形中的广义函数的结构 70

具有点状支集的广义函数 70

支集为Rn的向量子空间的广义函数 71

支撑在无穷可微流形Vn的正则浸入子流形Uh上的广义函数 72

第四章 广义函数的张量积 73

内容提要 73

1.含参积分 73

问题的提出 73

关于参数的连续性 74

可微性 74

2.两个广义函数的张量积 75

3.张量积的唯一性，存在性以及计算 76

逼近定理.张量积的唯一性 76

张量积的存在性及其计算 77

4.张量积的性质 78

支集 78

连续性 78

求导 80

逼近定理 80

5.一些例子 81

不依赖x1的广义函数 81

定义在某个向量子空间上的广义函数在整个空间上的延拓 82

Heaviside函数和Dirac测度 82

第五章 广义函数的乘法 83

内容提要 83

1.广义函数与无穷可导函数的乘积 84

定义两个任意的广义函数的乘积的不可能性 84

定义 84

2.乘积的性质 85

支集.阶 85

连续性 85

求导 86

张量积与乘积 86

多个广义函数的乘积 87

3.例子 87

4.除法问题，单变量的情形（n=1） 88

问题的提出 88

以x为分母做除法 89

以xl为分母做除法 90

以某个函数H为分母做除法 90

5.多变量情形的除法问题的概述 91

6.在常微分方程和偏微分方程中的应用 92

定义 92

常微分方程 94

偏微分方程的解的一个性质 96

Cauchy问题 96

基本解 98

基本核 100

椭圆方程组解的正则性 102

第六章 卷积 107

内容提要 107

1.通常意义下的卷积的定义 108

两个函数的卷积 108

函数与测度的卷积 109

两个测度的卷积 110

2.空间Rn上的两个广义函数的卷积 110

泛函定义.两个函数的情形 110

两个广义函数的情形 111

对支集的限制 111

存在性与计算 111

3.卷积的性质 112

支集 112

连续性 113

卷积与张量积 113

结合律与交换律 114

卷积，平移，求导 114

卷积，平移运算的线性组合 116

与求导可交换的运算 117

推广 118

多项式求导算子 118

4.广义函数的正则化 119

定义 119

连续性 120

点积与卷积的迹 121

几个公式 122

5.支集非紧时的卷积 123

定义和性质 123

交换律与结合律 123

不满足结合律的例子 123

单变量（n=1）符号计算中的运算 124

应用：非整数阶求导 125

多变量符号计算中的运算 127

6.卷积在积分研究中的应用 130

在原函数研究中的应用 130

一阶偏导数均为测度的广义函数 131

Lipschitz条件 134

高阶导数 136

所提出的问题 138

7.卷积在一个或一族广义函数的正则化研究中的应用 138

对测度以及阶有限的广义函数的刻画 138

评注与推论 139

广义函数的有界集 140

收敛的广义函数序列 142

应用：对定理10的改进 142

应用：对解析函数的刻画 143

8.新的广义函数空间（？′Lp） 144

空间（？′Lp） 144

广义函数空间（？′Lp） 144

对（？′Lp）中广义函数的刻画 145

空间（？）和（？′L1）之间的对偶 146

空间（？′Lp）中的乘法与卷积 146

有界广义函数的另外一个定义.推广 148

9.概周期广义函数 148

定义 148

运算与性质 149

均值与卷积 149

Fourier展开 150

10.在偏微分方程与积分方程中的应用 151

卷积方程 151

卷积方程解的一般性质 152

基本解 152

基本解的用途 153

Newton势Poisson公式 155

齐次椭圆方程组解的解析性 155

特殊情形：调和函数与全纯函数 156

卷积不等方程.F.Riesz分解公式 158

在上调和函数上的应用 159

评注与推广 160

第七章 Fourier变换 161

内容提要 161

1.Fourier级数 162

环面上的广义函数 162

Fourier级数 163

例子与应用 165

环面上的广义函数与Rn上的周期广义函数 166

2.n维空间上通常的Fourier变换 167

通常的Fourier变换 167

广义函数的情形 169

3.空间Rn上的速降无穷可导函数的空间（？） 169

空间（？） 169

几何解释 171

4.缓增广义函数的空间（？′） 172

空间（？）的对偶（？′） 172

空间（？′）的几何解释 173

利用增长性对缓增广义函数的刻画 173

缓增非负测度 175

延拓定理 176

5.缓增广义函数空间（？′）中的代数运算 176

缓增无穷可导函数空间（？M） 176

速降广义函数空间（？′C） 177

重要的评注 177

空间（？′）中的乘法 178

空间（？′）中的卷积 179

6.缓增广义函数的Fourier变换 181

Fourier变换以及Xn和Yn的自同构 183

评注 184

7.例子 184

例1 184

例2.Fourier级数与Fourier积分 185

例3.测度的Fourier变换 186

例4.空间（？′Lp）上的Fourier变换 187

例5.距离的函数 188

例6.亚纯函数 190

例7.Hermite多项式的Fourier变换 190

例8.双曲距离 193

例9.利用逐次积分来计算Fourier变换 194

8.Fourier变换的性质 196

张量积 196

乘积与卷积 196

例子 198

谱为紧集的广义函数.广义Paley-Wiener定理 199

9.非负型广义函数 200

非负型函数 200

非负型广义函数 201

非负型广义函数与非负型测度 202

非负型广义函数上的运算 203

非负型广义函数的结构 204

例子 205

10.在偏微分方程与积分方程中的应用 206

卷积方程的Fourier变换 206

齐次卷积方程 207

对基本解的寻求 209

例1.椭圆方程 209

例2.迭代Laplace方程 211

例3.迭代热传导方程 211

例4.双曲方程 212

例5.积分方程 213

例6 214

例7.Fredholm定理 215

常数项为任意缓增广义函数的方程的求解 216

例1 217

例2 217

除法问题的解的推论 218

第八章 Laplace变换 219

内容提要 219

1.广义函数与指数函数的乘积 220

2.与？n的非空凸子集Γ相伴的广义函数空间？′x（Γ） 223

3.空间？′x（Γ）上的Laplace变换 224

各种评注 226

4.从一个广义函数的Laplace变换出发对其支集的研究 227

第九章 流形上的流 231

内容提要 231

1.无穷可微流形上的偶形式与奇形式 232

寻常形式或偶形式 232

奇形式或挠形式 233

定向流形上的偶形式与奇形式 234

形式之间的外积 235

空间Rn上的形式 236

形式的逆像 237

？∞类形式的上同调 238

2.流形上的偶流与奇流 238

流 238

例子 239

非负流 249

定向流形上的偶流与奇流 249

流与广义函数 249

向量丛纤维空间的截面-广义函数 250

3.流上的初等运算 251

第一种运算：流与？∞类形式的外积 251

第二种运算：流与？∞类多重向量场的内乘 253

第三种运算：流的上边缘 253

带边流形V上的流的上边缘 258

第四种运算：流关于无穷小变换的求导 259

关于上同调的de Rham定理 261

4.流在？∞类映射下的直接像 267

定向流形的情形 273

微分同胚的情形.结构转移 273

5变量替换.流的逆像 275

变量替换 275

无穷可微奇形式的直接像 276

偶流的逆像 276

逆像的基本性质：传递性，支集，乘法，上边缘 277

映射H为局部微分同胚的情形 279

例子：一维变量替换 279

纤维空间 283

在一个从Um到Vn、秩为n的映射下的流的逆像 287

应用与例子 288

6.有限维向量空间上的缓增流的Fourier变换 292

参考文献 295

法中专业术语对照 313

索引 317

记号索引 321

函数空间与广义函数空间索引 323