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算术 1

一 整数 1

雉兔同笼 1

和尚分馒头 2

“巴赫沙利手稿”中的问题 3

分100的问题 3

驮货问题 3

上下移动 4

二 最大公约数、最小公倍数 5

封山周栈 5

三女归宁 5

三营值夜 6

鸡蛋问题 6

三 分数 7

妇人荡杯 7

凫雁相逢 8

五渠注池 8

盈不足问题 9

契丹算法 10

盈亏（朒）问题 10

双设法 10

漆油相和 10

蒲莞等长 11

计造军衣 12

分银子问题 12

埃及的问题 13

Thymaridas的问题 14

Sridhara问题 14

丢番图的年龄 15

爱神的烦恼 16

“巨人”吐水 17

大蛇进洞 18

花拉子米问题 19

Bhāskara问题 19

Beha-Eddin问题 20

牛顿问题 21

算学生数 22

欧拉的卖鸡蛋问题 22

托尔斯泰问题 23

木桶注水问题 24

四 比例 24

粟为粝米 24

五爵分鹿 25

食苗责粟 26

互易推本 26

《算盘书》中的问题 27

五 其他 27

Lucas问题 27

标签古题 28

de Méziriac问题 29

泊松问题 30

七个7的问题 31

四个4的游戏 35

无字天书 36

福尔摩斯的算题 37

猴子分花生 38

数论 41

一 整数的分解 41

算术基本定理 41

惟一分解定理 44

亲和数 44

完全数 45

Mersenne素数 46

费马数 47

伪素数 48

Carmichael数 49

Giuga猜测 50

二 同余式 51

中国剩余定理 51

孙子定理 53

大衍求一术 53

物不知数 53

余米推数 53

三 不定方程 54

五家共井 54

百鸡问题 55

百钱百鸡 56

百鸡术 56

阿基米德的牛群问题 56

Frobenius问题 59

换钱问题 60

勾股数 60

合同数 62

Bachet问题 64

费马大定理 65

欧拉猜测 67

Faltings-Mordall定理 68

不定方程x4+y4=z2 69

不定方程x4+y4=z4 70

Pell方程 71

不定方程y2-1=xp 72

Catalan猜想 72

不定方程4/n=1/x+1/y+1/z 73

四 素数分布 74

素数的无限性 74

Bertrand猜测 75

契比雪夫定理 75

m2与（m+1）2之间是否必有素数 75

相邻素数的差 75

孪生素数 77

双生素数 78

形如n2+1的素数 78

表素数的公式 79

表第n个素数的公式 81

素数定理 83

算术级数中的素数定理 85

算术级数中的最小素数 86

Schinzel猜测 86

黎曼假设 87

五 堆垒数论 88

堆垒数论 88

堆垒素数论 88

三角形数 89

多角形数 90

自然数的分拆 91

平方和 92

华林问题 93

素变数的华林问题 95

数论三珠 95

华林定理的初等证明 96

范德瓦尔登定理 96

Baudet猜想 97

Mann定理 97

等幂和问题 98

哥德巴赫猜测 99

欧拉-哥德巴赫猜测 103

余新河猜测 103

六 整点 105

圆内整点问题 105

狄利克雷除数问题 106

七 无理数、代数数和超越数 107

用有理数逼近无理数的问题 107

最佳逼近 108

超越数 109

e的超越性 110

π的超越性 112

八 其他 113

埃及分数 113

家政问题 115

夫妻围坐问题 116

公开密钥 116

数学黑洞 118

到一正方形顶点距离为有理数的点 120

3x+1猜测 121

Collatz猜测 123

Langford问题 123

代数 128

一 数与式 128

Avicenna问题 128

Germain定理 128

循环小数的一个性质 129

3的一个奇特的性质 133

棣莫弗公式 133

四平方和的欧拉恒等式 135

拉格朗日恒等式 136

斐波那契恒等式 136

Bhāskara等式 137

贾宪三角形 138

开方作法本源图 140

杨辉三角形 140

帕斯卡三角形 140

李善兰恒等式 140

组合数等式 142

关于二项式系数 144

初等对称多项式 144

一个对称式 146

拉格朗日插值多项式 147

欧拉公式 148

f（cos x）=cos 17x的一个性质 150

富兰克林“遗嘱”问题 151

火柴游戏 151

三角函数的加法定理 155

二 方程与方程组 157

求问禾实 157

肆中饮 158

三才远元 158

遥度圆城 159

圆城周径 160

蜂群问题 161

斐波那契问题 161

卡丹问题 162

解一个45次方程 162

遗产问题 163

钟针的对调 164

三次代数方程的解法及卡丹求根公式 165

四次代数方程的费拉里解法与笛卡尔解法 169

因式定理 171

笛卡尔符号法则 171

斯图姆定理 172

代数方程根与系数关系的韦达公式 173

柯西方程 174

三 不等式 176

（一）一般不等式 176

算术平均值-几何平均值不等式 176

柯西不等式 179

Wagner不等式 180

契比雪夫不等式 181

排序不等式 182

Gram不等式 183

Young不等式 184

赫尔德不等式 186

闵科夫斯基不等式 188

Aczél不等式 190

Bellman不等式 191

Schweitzer不等式 191

Diaz-Metcalf不等式 194

波利亚-舍贵不等式 195

Kantorovich不等式 196

Greub-Rheinboldt不等式 197

Ostrowski不等式 197

樊？-陶德不等式 199

Jensen不等式 200

r阶加权平均值不等式 201

哈代-兰道不等式 205

Rado不等式 206

Popoviciu不等式 208

Kober不等式 209

Rasa不等式 211

Sierpinski不等式 211

Carlson不等式 212

Beckenbach不等式 213

牛顿不等式 216

马克劳林不等式 217

Marcus-Lopes不等式 217

关于凸函数的Jensen不等式 220

舍贵不等式 222

Bellman不等式 223

Lyapunov不等式 224

Levinson不等式 224

阿达玛不等式 225

关于向量优化的哈代-利特尔伍德-波利亚不等式 226

Schur不等式 229

Redheffer递归不等式 231

Carleman不等式 233

（二）特殊不等式 234

Hlawka不等式 234

Hornich不等式 235

四 数列 236

节气晷长 236

竹节容升 237

女子善织 238

女不善织 238

分钱问题 239

茭草垛问题 239

分面包问题 240

Nichomachus问题 240

斯图姆问题 242

望堤 243

棋盘放米问题 244

买马问题 244

Hanoi塔问题 245

积罂求数 246

隙积术 247

垛积术 247

四隅垛求积问题 247

如象招数 248

招差术 249

落一形问题 249

撒星形问题 250

撒星更落一形问题 251

三角撒星更落一形问题 253

自然数幂和问题 254

al-Kāshī恒等式 263

伯努利数 263

Hypsicles定理 265

斐波那契数列 266

Lucas数列 269

最小和 270

质数的和 271

五 概率 273

分赌注问题 273

下赌注问题 278

Méré悖论 279

赌徒输光问题 280

生日问题 284

配对问题 287

扑克牌胜负排座次 291

睡美人的故事 293

排队找零钱问题 294

圣彼得堡悖论 297

概率与π 301

Buffon投针问题 302

Bertrand奇论 306

等待时间问题 308

确诊率问题 311

巴拿赫火柴问题 314

普查疾病问题 315

校对问题 316

六 其他 318

水手、猴子和椰子 318

九宫数 319

洛书 320

纵横图 320

百子图 320

聚八图 321

攒九图 321

六合立方图 322

田忌赛马 322

装错信封 323

36名军官问题 325

柯克曼女生问题 326

集会问题 328

Ramsey问题 329

四色猜测 329

四色定理 330

中国邮路（或邮递员）问题 330

哈密顿周游世界问题 332

旅行售货员问题 333

货郎担问题 335

几何 340

一 平面几何 340

（一）三角形 340

勾股定理 340

毕达哥拉斯定理 342

折竹问题 342

葭生池中 343

望海岛 343

望清渊 345

三斜求积 345

三斜求积公式 347

秦九韶公式 347

印度莲（荷）花 347

三角形的帕波斯定理 347

海伦公式 348

帕波斯公式 350

Stewart定理 350

三角形的拉格朗日定理 351

关于重心的帕波斯定理 352

Cesàro定理 353

垂足三角形的垂足三角形问题 354

施泰纳-莱默斯定理 355

拿破仑三角形 358

Morley定理 359

Echols定理 360

梅内劳斯定理 361

共线点的帕波斯定理 362

Desargues定理 363

塞瓦定理 365

Kiepert点 366

共点线的施泰纳定理 367

等角共轭点 368

等截共轭点 370

Lemoine点 370

（二）多边形 372

勾股容方 372

邑方大小 372

四边形的欧拉定理 373

四边形的葛尔刚定理 374

Bretschneide公式 374

梯形的施泰纳定理 376

完全四边形的牛顿线 377

内对角线的数目 378

Doaglas-Newmann定理 379

（三）圆 383

圆材埋壁 383

勾股容圆 384

弦外容圆 385

圆田方池 386

割圆求积 386

割圆术 388

祖冲之的密率 388

祖率 388

会圆术 389

月形定理 389

鞋匠皮刀形 390

Hipparchus定理 391

托勒密定理 392

Brahmagupta公式 394

Brahmagupta定理 397

正弦定理 398

蝴蝶定理 399

Servois定理 404

两圆的麦比乌斯定理 405

雅可比定理 406

Chapple定理 407

费尔巴哈公式 408

Lemoine公式 411

Fuss定理 412

Spieker圆 415

Salmon定理 416

Johnson定理 416

葛尔刚点 417

等角中心 418

布利安香定理 419

欧拉线 420

Simson定理 421

Simson线 422

清宫定理 422

帕斯卡定理 424

帕斯卡线 425

Lemoine线 425

完全四边形的Simson线 426

完全四边形的垂心线 426

三圆的相似轴 428

三角形的五点圆 428

Miquel定理 429

三角形的第一Lemoine圆 430

三角形的第二Lemoine圆 431

Tucker圆 432

泰勒圆 433

Brocard圆 434

Fuhrmann圆 436

八点圆 437

九点圆 438

欧拉圆 439

庞斯莱圆 439

费尔巴哈圆 439

形心圆 439

Catalan定理 441

施泰纳定理 441

施泰纳点 442

施泰纳圆 442

Miquel点 442

Brocard点 443

费尔巴哈定理 444

Manheim定理 446

施泰纳圆系 447

Casey定理 449

圆链 451

（四）点的轨迹 453

阿波罗尼奥斯圆 453

定和幂圆 454

定差幂线 455

牛顿轨迹问题 456

根轴 457

共轴圆 459

Serret轨迹问题 460

Peaucellier反演器原理 460

Catalan轨迹问题 461

外接于定三角形的正三角形的重心轨迹 463

（五）作图 464

作圆内接三角形，使它与给定三角形有相等的三个角 464

费马作图问题 464

Castillon问题 466

已知三条高的长度，求作三角形 468

已知三角形的两边中点及垂心的位置，求作三角形 469

已知一边上的高和中线及其余两边的差，求作三角形 469

求作等腰三角形，使它的底边和底角平分线有给定长度 471

Regiomontanus作图问题 471

Prouhet问题 472

作圆内接正五边形、正十边形、正十五边形 473

正十七边形作图 475

等分圆周问题 477

阿波罗尼奥斯切圆问题 479

马尔法蒂问题 482

蒙日问题 484

Thébault问题 485

黄金分割 486

阿波罗尼奥斯比例截线问题 488

帕波斯作图问题 488

Catalan问题 489

三角形内二等圆问题 490

三等分三角形的面积 492

在△ABC所在平面上求一点O，使△OBC、△OCA、△OAB的周长相等 494

同时平分四边形的周长和面积 495

Garfunkel作图问题 496

拿破仑问题 497

Mascheroni圆规问题 498

施泰纳问题 501

只用直尺作图问题 501

三等分任意角 505

立方倍积问题 508

化圆为方问题 511

作正七边形问题 512

（六）极值 514

Serenus问题 514

Alhazen弹子问题 515

费马极值问题 516

Fagnano问题 519

Watson问题 521

平面等周问题 522

Schwarz三角形 525

最小内接四边形 527

（七）几何不等式 529

Catalan不等式 529

Janous-Nakassis不等式 529

Schur型W olstenholme不等式 532

Bager图 532

三角形的半角正弦（或余弦）和的不等式 534

Wolstenholme-Klamkin加权三角不等式 537

波利亚-科沙克不等式 538

Weitzenbock不等式 540

波利亚-舍贵几何不等式 543

Finsler-Hadwiger不等式 545

Oppenheim单调性定理 548

欧拉不等式 550

Gerretsen不等式 552

Ramus-Rouche基本不等式 554

Edwards-Blundon不等式 555

Berkes-Walker不等式 556

Fejes Tǒth-Hajós不等式 557

Steinig不等式 558

Makowski不等式 559

Erdos-Oppenheim不等式 560

Janous-Gmeiner不等式 561

中线的立方和 562

三角形中线和旁切圆半径的不等式 563

Marshall-Olkin不等式 565

角平分线的平方和 566

Panaitopal不等式 567

Garfunkel-Gardner不等式 568

Leuenberger不等式 569

角平分线的倒数和 571

Erdos-Leuenberger不等式 572

Garfunkel不等式 572

Ciamberlini不等式 573

Walker不等式 574

锐角三角形角的不等式 575

Erdos不等式 576

Guggenheimer不等式 576

Gmeiner-Janous不等式 577

林鹤一不等式 578

惯性极矩不等式 579

三角形内一点到它各顶点的距离的不等式 580

三角形内一点到它各边的距离的不等式 581

Erdos-Mordell不等式 582

Erdos极值问题 584

Stroeker-Mascioni不等式 585

Erdos-Bager不等式 586

Debrunner-Dresel不等式 587

Neuberg-Pedoe不等式 591

Oppenheim不等式 595

Sondat基本不等式 598

Erdos-Klamkin不等式 598

麦比乌斯-蓬佩尤定理 599

Gal-Bankoff不等式 600

刘徽不等式 601

一个Erdos不等式 602

二 立体几何 612

（一）直线和平面 612

直线和平面垂直的判定定理 612

三垂线定理 614

Tinseau定理 615

三面角的梅内劳斯定理 616

空间Desargues定理 618

塞瓦-卡诺定理 619

共面点的费尔巴哈定理 621

（二）多面体 623

多面体的庞斯莱定理 623

葛尔刚定理 624

笛卡尔-加定理 626

四面体的重心 627

Commandino定理 628

蒙日点 629

Mannheim定理 630

Durrunde定理 631

Bang定理 633

Roberts定理 633

Ferriot定理 635

Temperley定理 636

十二点球 637

阳马求积 638

刍甍求积 640

刍童求积 641

羡除求积 641

四面体体积的欧拉定理1 642

四面体体积的欧拉定理2 645

四面体体积的Servois定理 649

Lévy定理 650

Mention定理 651

Crelle定理 653

勒让德定理 654

Blondat定理 655

多面体的欧拉定理 656

正多面体的种类 660

多面体面的欧拉定理 661

凸多面体的柯西定理 662

Pohlke-Schwarz定理 669

高斯定理 672

（三）旋转体 674

牟合方盖 674

刘-祖原理 677

祖暅原理 677

委菽依垣 677

委粟术 678

阿基米德定理 678

帕波斯-古尔丁定理 679

古尔丁定理 680

四球的相似面 680

（四）轨迹和作图 682

等幂面或根面 682

阿波罗尼奥斯轨迹问题 683

阿波罗尼奥斯球 687

求作正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体 687

费马问题 691

拉格朗日-施泰纳定理 692

（五）极值 694

Regiomontanus问题 694

四面体的极值问题 695

空间等周问题 699

蜂巢问题 702

（六）球面三角形与球面四边形 704

球面三角形的梅内劳斯公式 704

球面三角形的正弦定理 707

球面三角形边的余弦定理 708

球面三角形角的余弦定理 710

球面三角形的面积公式 711

球面三角形的Delambre公式 712

纳皮尔相似公式 714

球面三角形的Cagnoli公式 715

球面三角形的欧拉公式 717

球面三角形的L’Huillier公式 720

球面三角形的古德曼公式 723

球面四边形的Lexell定理 724

三 解析几何 728

平面部分 728

（一）有向线段 728

Chasles定理 728

欧拉定理 729

帕波斯定理 729

（二）椭圆和双曲线 732

Chasles定理 732

Mac Cullagh定理 734

Joachmsthal定理 735

阿基米德定理 738

Schmall定理 739

布利安香-庞斯莱定理 741

Greenstreet定理 742

Ivory定理 744

共轭直径的阿波罗尼奥斯定理 745

切线与辅助圆定理 748

焦点切线的阿波罗尼奥斯定理 750

Bobillier定理 753

（三）抛物线 754

Anthemius定理 754

Anning定理 755

Zerr定理 757

抛物线的麦比乌斯定理 758

Gains定理 759

兰伯特定理 761

阿波罗尼奥斯定理 762

阿基米德三角形的性质 765

（四）圆锥曲线 768

圆锥曲线的Mac Cullagh定理 768

庞斯莱定理 770

帕波斯定理 771

Dandelin定理 773

（五）轨迹与作图 777

van Schooten轨迹问题 777

La Hire轨迹定理 778

准圆 780

施泰纳轨迹定理 780

布利安香-庞斯莱轨迹定理 781

Klamkin-Miller轨迹定理 783

圆锥曲线的直径 785

洛必达轨迹定理 787

帕波斯问题 788

牛顿椭圆问题 790

过给定五点（切线）作圆锥曲线 792

过给定四点作抛物线 793

（六）极值 797

最大内接四边形 797

施泰纳椭圆 799

葛尔刚-施泰纳问题 802

（七）高次曲线 806

蔓叶线 806

卡西尼卵形线 808

伯努利双纽线 809

蚌线 810

帕斯卡蜗线 812

心脏线 813

摆线 813

星形线 816

卡丹圆内旋轮线 820

内摆线 820

割圆曲线 820

外摆线 822

三尖内摆线 825

半立方抛物线 829

阿基米德螺线 830

空间部分 833

Serret定理 833

麦比乌斯定理 836

拉格朗日定理 837

蒙日定理 838

Dupin定理 841

准平面和准球面 842

欧拉轨迹问题 844

Dupin轨迹问题 845

Moorman轨迹定理 846

Monsky轨迹定理 847

四 其他 850

不可公度线段 850

海伦三角形 851

Hipparchus球极投影 852

欧拉的多边形剖分问题 855

消失的区域 857

施泰纳的用平面划分空间问题 859

完全正方形 860

Barbier定理 864

Sylvester三点共线问题 866

Helly定理 867

Pick定理 869

闵科夫斯基定理 869

最小覆盖圆 871

直尺刻度问题 873

潜入侦察问题 875

干酪问题 877

行星凿洞问题 879

高等数学 883

一 极限和连续 883

lim n→∝（1+1/n）n=？ 883

lim x→0sin x/x=？ 885

黎曼函数 886

二 微分和积分 887

怎样求抛物线弓形的面积 887

怎样作曲线的切线 888

弧长计算问题 890

Jordan定理 891

无穷小悖论 892

贝克莱悖论 893

阶乘n！的推广问题 893

怎样估算n！ 895

伯努利-莱布尼茨诡论 901

三 无穷级数 902

欧拉常数 902

追龟说 906

伯努利问题 907

1-1+1-1+…+1-…=？ 910

黎曼定理 913

无穷多个连续函数之和是否也是连续函数 914

魏尔斯特拉斯定理 917

四 集合论 920

伽利略悖论 920

有理数多还是自然数多 922

是否存在不可列集 923

康托尔完备集 924

罗素悖论 926

五 高等代数 927

代数基本定理 927

代数方程根式解问题 929

复数域能不能再扩充 930

六 高等几何 932

欧几里得公理系统是否严谨 932

什么叫点、线、面 933

平行公设问题 935

非欧几何的合理性问题 939

七 拓扑学 942

七桥问题 942

Jordan曲线定理 944

麦比乌斯带 946

闭曲面的分类定理 949

克莱因瓶 951

布劳威尔不动点定理 951

八 微分方程 954

最速降线问题 954

悬链线形状问题 957

牵曳问题 959

跟踪问题 961

正交轨线问题 961

开普勒方程求解问题 962

怎样描述脉冲现象 964

九 希尔伯特数学问题 967

希尔伯特数学问题 967

希尔伯特第一问题 970

希尔伯特第二问题 971

希尔伯特第三问题 972

希尔伯特第五问题 973

希尔伯特第七问题 974

希尔伯特第八问题 975

希尔伯特第九问题 976

希尔伯特第十问题 976

希尔伯特第十三问题 977

希尔伯特第十五问题 978

希尔伯特第十六问题 979

希尔伯特第十八问题 980

希尔伯特第十九问题 981

希尔伯特第二十二问题 981

常见数学家译名表 985

词目索引 991

编辑后记 1018