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第1章 引言 1

1.1 偏微分方程的定义与典型实例 1

1.2 偏微分方程的发展历史 4

1.3 偏微分方程的研究方法 9

1.4 偏微分方程的基本概念 10

1.5 各章节内容简介 12

习题1 14

第2章 方程的导出、分类与化简 15

2.1 波动方程的导出及其定解问题 15

2.1.1 弦振动方程及其定解问题 15

2.1.2 膜振动方程及其定解问题 17

2.2 热传导方程的导出及其定解问题 20

2.3 位势方程及其定解问题 22

2.4 定解问题的适定性 23

2.5 二元二阶线性偏微分方程的分类与化简 24

2.6 多元二阶线性偏微分方程的分类与化简 30

习题2 33

第3章 双曲型方程 35

3.1 解一维波动方程的达朗贝尔法 35

3.1.1 无界弦的自由振动方程 35

3.1.2 半无界弦的自由振动方程 38

3.1.3 弦强迫振动方程 40

3.2 解高维波动方程的球面平均法 43

3.2.1 高维波动方程的哥西问题 43

3.2.2 依赖区域、决定区域和影响区域 50

3.3 解波动方程混合问题的分离变量法 52

3.3.1 具狄利克雷边界条件的弦自由振动方程的混合问题 52

3.3.2 具诺伊曼边界条件的弦自由振动方程的混合问题 56

3.3.3 非齐次问题的解法 58

3.3.4 高维波动方程的混合问题 61

3.4 波动方程解的唯一性和稳定性 64

3.4.1 能量积分与混合问题解的唯一性和稳定性 64

3.4.2 哥西问题解的唯一性和稳定性 67

3.5 例题与方法选讲 71

3.5.1 具罗宾边界条件的弦自由振动方程的混合问题 71

3.5.2 圆域上弦自由振动方程混合问题与贝塞尔函数 75

3.5.3 特征线法 80

3.5.4 广义哥西问题 85

习题3 87

第4章 抛物型方程 104

4.1 傅里叶积分变换 104

4.1.1 傅里叶积分公式与傅里叶积分变换 104

4.1.2 傅里叶积分变换的性质 107

4.1.3 举例 108

4.2 热传导方程的哥西问题 111

4.2.1 泊松公式 111

4.2.2 热传导方程哥西问题解的存在性 112

4.3 热传导方程的混合问题 116

4.4 极值原理与定解问题的适定性 120

4.4.1 极值原理 120

4.4.2 第一边值问题解的最大模估计与适定性 122

4.4.3 第二、第三边值问题解的最大模估计与适定性 123

4.4.4 哥西问题解的适定性 126

4.5 例题与方法选讲 127

4.5.1 多元函数的傅里叶变换 127

4.5.2 圆域上热传导方程混合问题 130

4.5.3 拉普拉斯变换 131

习题4 140

第5章 椭圆型方程 153

5.1 极值原理与最大模估计 153

5.1.1 极值原理及其推论 153

5.1.2 定解问题解的最大模估计与适定性 157

5.1.3 调和方程的外问题 161

5.2 调和方程的格林函数 163

5.2.1 调和方程的基本解 163

5.2.2 格林公式 164

5.2.3 格林函数 167

5.2.4 球上的格林函数与泊松公式 170

5.2.5 半空间上的格林函数与泊松公式 175

5.3 调和函数的性质 178

5.4 牛顿位势与泊松方程 183

5.5 佩隆方法 187

5.6 例题与方法选讲 192

5.6.1 特殊区域上格林函数举例 192

5.6.2 哈纳克不等式的应用 196

5.6.3 先验估计的应用点滴 198

习题5 203

第6章 一阶偏微分方程与哥西—柯瓦列夫斯卡娅定理 213

6.1 一阶拟线性偏微分方程 214

6.1.1 特征方程组与特征线 214

6.1.2 一阶拟线性偏微分方程的哥西问题 216

6.1.3 举例 219

6.2 一阶完全非线性偏微分方程 222

6.2.1 特征方程组与特征带 223

6.2.2 一阶完全非线性偏微分方程的哥西问题 227

6.3 实解析函数 232

6.4 哥西—柯瓦列夫斯卡娅定理 236

6.5 例题与方法选讲 242

6.5.1 用包络生成解 242

6.5.2 化高阶方程为一阶拟线性方程组 247

习题6 248

第7章 变分原理与偏微分方程的广义解 250

7.1 变分原理 250

7.2 偏微分方程的广义解 256

7.3 变分直接方法大意 262

习题7 265

参考文献 266

索引 267