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第1章 数论 1

1.1 整数 1

1.2 素数 2

1.3 最大公约数与欧几里得算法 3

1.4 欧几里得算法复杂性讨论 5

1.5 大数的因数分解 6

1.6 同余式 7

1.7 中国剩余定理 10

1.8 Gauss算法 11

1.9 古典密码举例之一：Kaiser密码 12

1.10 古典密码举例之二：单表置换 13

1.11 古典密码举例之三：Vigenere密码 17

1.12 Wilson定理与Fermat定理 20

1.13 Euler定理 21

1.14 Euler定理帮助人们完成了一场密码学的革命 22

1.15 数字签名 24

1.16 Karatsuba-Offman算法及中国剩余定理在解密过程中的应用 24

1.17 指数和原根 25

1.18 指标（离散对数） 27

1.19 Miller素数判定法 28

1.20 ElGamal公钥密码 29

1.21 平方剩余与非平方剩余，Legender符号 31

1.22 互倒定理 33

1.23 Jacobi符号 37

习题 41

第2章 群论与有限域理论简介 45

2.1 群论 45

2.2 有限域 51

习题 57

第3章 大数分解 58

3.1 Pollard p—1因数分解法 58

3.2 连分数因数分解法 59

3.3 Pollard ρ法 64

3.4 Dixon随机平方因数分解法 65

习题 66

第4章 线性反馈移位寄存器 67

4.1 流码 67

4.2 线性反馈移位寄存器 67

4.3 Golomb随机性概念 70

4.4 非线性移位寄存器举例 71

4.5 LFSR的密码反馈 75

习题 76

第5章 判定素数的算法 77

5.1 数学准备 77

5.2 概率算法 79

5.3 随机数的发生器 80

5.4 Miller-Rabin测试法 82

5.5 Miller-Rabin算法的有关定理 83

5.6 附录AKS确定型判定素数的多项式算法 83

5.7 符号与准备 84

5.8 AKS算法 85

5.9 正确性证明 85

5.10 复杂性分析 88

5.11 改进意见 88

5.12 2002年的AKS算法 88

习题 89

第6章 零知识证明简介 90

6.1 概念 90

6.2 身份的零知识证明 91

6.3 Fiat-Shamir协议适于网上身份验证 92

6.4 Schnorr身份验证 92

6.5 Feige-Fiat-Shamir身份验证协议 92

6.6 Feige-Fiat-Shamir身份验证 93

习题 94

第7章 大数快速算法与求离散对数 95

7.1 数的m进制表示 95

7.2 多位数的运算 96

7.3 离散对数 106

7.4 求离散的Baby-Step giant-step算法 107

7.5 Pohlig-Hellman算法 108

7.6 Shank法 109

7.7 数指标的算法 111

习题 114

第8章 椭圆曲线 115

8.1 Weierstrass方程 115

8.2 判别式与结式 116

8.3 椭圆曲线上的加法法则 118

8.4 椭圆曲线上的无穷远点及有限域上的椭圆曲线 122

8.5 GF（2k）上的椭圆曲线 125

8.6 P+(Q+R)=(P+Q)+R 125

8.7 椭圆曲线的密码 127

8.8 若干算法 129

8.9 复合域G（（2n）m）简介 130

习题 132

第9章 Lenstra因数分解法 133

9.1 mod n的椭圆曲线 133

9.2 算法的补充 139

习题 142

第10章 信息论及编码 143

10.1 导论 143

10.2 Hamming距离 143

10.3 码字 144

10.4 熵的概念 145

10.5 熵的性质 147

10.6 条件熵 148

10.7 信道容量 155

10.8 无噪声信道 158

10.9 无噪声无记忆的编码理论 160

10.10 Huffman码 161

10.11 变长度码的译码方法 163

10.12 分组码，Hamming码 164

10.13 BCH码 166

习题 168

参考文献 170