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第1章 行列式 1

1.1 全排列与逆序数 1

一、排列与逆序 2

二、对换 2

1.2 n阶行列式的定义 3

1.3 行列式的性质 7

一、行列式的性质 7

二、利用“三角化”计算行列式 11

1.4 行列式计算 15

一、行列式按一行（列）展开 15

二、用降阶法计算行列式 17

三、拉普拉斯定理 21

1.5 克拉默法则 23

1.6 数学建模案例 28

一、Euler的四面体问题 28

二、电路设计问题 30

三、平衡价格问题 31

总习题一 33

第2章 矩阵及其运算 37

2.1 矩阵的概念与运算 37

一、矩阵的概念 37

二、矩阵的运算 38

2.2 特殊矩阵及矩阵分块 48

一、几种常见特殊矩阵 48

二、矩阵的分块 51

2.3 可逆矩阵 55

2.4 矩阵的初等变换 61

一、矩阵的初等变换与初等矩阵 61

二、求逆矩阵的初等变换法 64

2.5 矩阵的秩 70

2.6 数学建模案例 74

一、平面图形的几何变换 74

二、应用矩阵编码Hill密码 75

三、企业投入产出分析模型 77

总习题二 79

第3章 线性方程组 87

3.1 消元法 87

3.2 向量组的线性相关性 95

一、n维向量的概念 95

二、向量间的线性关系 97

三、向量组的线性表示 99

四、向量组的线性相关性 99

3.3 向量组的秩 103

一、极大线性无关组 103

二、向量组的秩 104

三、矩阵与向量组秩的关系 104

3.4 向量空间 108

一、向量空间与子空间 108

二、向量空间的基与维数 109

三、基变换与坐标变换 112

3.5 线性方程组解的结构 113

一、齐次线性方程组解的结构 113

二、非齐次线性方程组解的结构 119

3.6 数学建模案例 123

一、交通网络流量分析问题 123

二、配方问题 124

三、化学方程式配平问题 126

总习题三 128

第4章 特征值与特征向量 132

4.1 方阵的特征值与特征向量 132

一、特征值与特征向量的概念 132

二、计算特征值和特征向量 133

三、特征值与特征向量的性质 137

四、矩阵的谱半径 140

4.2 相似矩阵 141

一、相似矩阵的概念与性质 142

二、矩阵与对角矩阵相似的条件 143

4.3 向量的内积与向量组的正交化 149

一、向量的内积 150

二、向量组的正交化 152

三、正交矩阵与正交变换 155

4.4 实对称矩阵的对角化 157

一、实对称矩阵的特征值与特征向量 157

二、实对称矩阵的对角化 159

4.5 数学建模案例 164

一、人员流动问题 164

二、简单的种群增长问题 166

三、常染色体遗传模型 167

四、一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 169

总习题四 171

第5章 二次型 176

5.1 二次型及其标准形 176

一、二次型的概念 176

二、矩阵的合同 178

三、二次型的标准形 179

四、二次型的规范形 184

5.2 正定二次型 186

一、正定二次型的概念 186

二、正定二次型的判别法 187

三、顺序主子式判别法 188

5.3 数学建模案例 192

一、小行星的轨道模型 192

二、基因间“距离”的表示 194

三、人口迁移的动态分析 195

总习题五 197

习题参考答案 200