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1 数学物理中的典型方程和定解问题 1

1.1 典型方程的推导 1

1.1.1 弦振动方程和定解条件 1

1.1.2 热传导方程和定解条件 6

1.1.3 位势方程和定解条件 9

1.1.4 流体力学基本方程组 11

1.2 偏微分方程的基本概念 15

1.3 2阶线性偏微分方程的化简与分类 17

1.3.1 两个自变量2阶线性偏微分方程的化简 17

1.3.2 两个自变量2阶线性偏微分方程的分类 23

1.3.3 多个自变量2阶线性偏微分方程的分类 26

1.4 定解问题的适定性 28

习题1 29

2 分离变量法 32

2.1 齐次边界条件有界弦自由振动方程的混合问题的分离变量法 32

2.1.1 微分方程定解问题、分离变量法的基本思想 32

2.1.2 求微分方程的特解 33

2.1.3 定解问题的形式解 34

2.1.4 综合过程、解的存在性 35

2.1.5 举例 37

2.1.6 解的物理意义 39

2.2 齐次边界条件有界弦强迫振动方程的混合问题的分离变量法 40

2.3 非齐次边界条件的定解问题 45

2.4 解热传导方程的混合问题的分离变量法 47

2.4.1 齐次方程、齐次边界条件 48

2.4.2 非齐次方程、齐次边界条件 49

2.4.3 一般的第一初边值问题 51

2.4.4 具第三类边值条件的热传导方程混合问题分离变量法求解的例子 54

2.5 圆柱体定常温度分布的Dirichlet问题 58

习题2 62

3 积分变换法 66

3.1 Fourier变换的理论基础、基本性质 66

3.2 Fourier变换的应用 70

3.2.1 热传导方程初值问题的解法 70

3.2.2 半无界问题 76

3.2.3 三维热传导方程初值问题 77

3.2.4 弦振动方程的Fourier变换解法 79

3.3 Laplace变换的引入、基本性质 83

习题3 88

4 波动方程 91

4.1 齐次弦振动方程的初值问题、D'Alembert公式、广义解 91

4.2 D'Alembert公式的物理意义、传播波、依赖区域、影响区域、决定区域 97

4.2.1 D'Alembert公式的物理意义、传播波 97

4.2.2 影响区域、依赖区域和决定区域 98

4.3 延拓法求解半无穷长弦振动方程初边值问题 99

4.4 三维波动方程的球面平均法、Poisson公式 103

4.5 三维非齐次波动方程初值问题、推迟势 108

4.6 二维波动方程初值问题的降维法 111

4.7 依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥 113

4.8 Poisson公式的物理意义、Huygens原理 115

4.9 能量不等式、波动方程初值问题解的唯一性和连续依赖性 116

习题4 127

5 椭圆型方程 130

5.1 椭圆型方程边值问题的提法 130

5.2 Green公式 132

5.3 调和函数的基本积分表达式和一些基本性质 133

5.4 Laplace方程第一边值问题解的唯一性及稳定性 137

5.5 Green函数、Dirichlet问题的解 138

5.5.1 Green函数的引出 138

5.5.2 Green函数的基本性质 140

5.5.3 特殊区域的Green函数、静电源像法 144

5.5.3.1 球域的Green函数及Dirichlet问题的解 145

5.5.3.2 半空间的Green函数及Dirichlet问题的解 148

5.5.3.3 二维问题 149

5.6 调和函数的进一步性质——Poisson公式的应用 151

习题5 154

6 抛物型方程 157

6.1 热传导方程混合问题的适定性 157

6.2 热传导方程Cauchy问题的适定性 159

习题6 163

7 基本解与解的积分表达式 165

7.1 广义函数及其性质 166

7.1.1 广义函数与δ函数的引出 166

7.1.2 广义函数与δ函数的一些基本性质 173

7.1.3 广义函数的导数 174

7.2 基本解、解的积分表达式 176

7.2.1 Lu＝0型方程的基本解 176

7.2.2 ？u/？t＝Lu型方程Cauchy问题的基本解、解的积分表达式 182

7.2.3 ？2u/？t2＝Lu型方程Cauchy问题的基本解、解的积分表达式 184

习题7 188

附录 Fourier变换表和Laplace变换表 191

Fourier变换表 191

Laplace变换表 192