考研数学客观题简化求解技巧分类归纳 高等数学PDF电子书下载

第1章 函数、极限、连续 1

1.1 函数及其性质 1

1.1.1 求复合函数的表达式 1

1.1.2 求反函数的表达式 2

1.1.3 判别函数的有界性 2

1.1.4 判别函数的奇偶性 5

1.1.5 奇偶函数常用性质的应用 6

1.1.6 判别函数的单调性 8

1.1.7 判别函数的周期性 8

1.2 极限的求法 9

1.2.1 数列的极限 9

1.2.2 用等价无穷小代换求极限 13

1.2.3 用泰勒公式求极限 15

1.2.4 简化计算“1∞”型幂指函数的极限 16

1.2.5 求子函数形式特殊的函数极限 18

1.2.6 比较或确定无穷小的阶 21

1.2.7 由极限值确定待定常数 23

1.2.8 已知函数极限值，求与此极限有关的另一函数极限 27

1.3 函数的连续性 28

1.3.1 讨论函数的连续性 28

1.3.2 讨论用极限形式给出的函数的连续性、可导性 31

1.3.3 求间断点及其类型 32

1.3.4 利用连续性确定待定常数 33

1.3.5 讨论方程的实根 34

习题1 36

第2章 一元函数微分学 39

2.1 判别函数在某点的可导性 39

2.1.1 用导数定义判别函数在某点的可导性 39

2.1.2 利用特殊的分式极限式判别函数在某点可导 40

2.1.3 判别含绝对值的函数在某点的可导性 41

2.1.4 判别一类特殊的分段函数在分段点的可导性 43

2.1.5 利用导数定义求分式函数的极限 44

2.1.6 利用导数定义或导数存在的充要条件求函数的待定常数 45

2.2 计算导数 46

2.2.1 计算复合函数的导数 46

2.2.2 分段函数在分段点处的导数的求法 47

2.2.3 求反函数的导数 48

2.2.4 求隐函数的导数 49

2.2.5 求由参数方程？所确定的函数y=y（x）的导数 50

2.3　计算高阶导数与微分 51

2.3.1　计算高阶导数 51

2.3.2 数微分的概念及其计算 53

2.4　微分中值定理的综合应用 55

2.4.1 利用微分中值定理的条件与结论求解客观题 55

2.4.2 求解与函数差值有关的问题 56

2.4.3 讨论导函数的变化趋势与函数的变化趋势的关系 57

2.5　讨论函数的性态 58

2.5.1　讨论函数的单调性并求其单调区间 58

2.5.2 判别某点是否为函数的极值点 60

2.5.3　讨论曲线的凹凸性并求其凹凸区间与拐点 62

2.5.4　求函数的极值和最值 65

2.5.5　求曲线的渐近线 67

2.6　一元函数微分学的几何应用 69

2.6.1 求过曲线上一已知点的切（法）线方程 69

2.6.2　过不在曲线上的已知点，求该曲线的切（法）线方程 71

2.6.3 求解与两曲线相切的有关问题 71

2.6.4 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 72

2.6.5 计算曲率、曲率半径与曲率圆 72

习题2 73

第3章　一元函数积分学 77

3.1　原函数与不定积分 77

3.1.1　原函数与不定积分的概念、性质及其相互关系 77

3.1.2　求分段函数的积分 79

3.2　计算不定积分 81

3.2.1 用凑微分法（第一类换元积分法）计算不定积分 81

3.2.2 用第二类换元积分法计算积分 82

3.2.3 用分部积分法计算不定积分 84

3.2.4 用分项积分法计算不定积分 84

3.3　利用定积分定义求积和式的极限 85

3.3.1 求有一因式或能化为一因式为1/n的积和式的数列极限 85

3.3.2 求需将其放缩后能用定积分定义求和的积和式的极限 86

3.4　利用定积分的性质计算定积分 87

3.4.1 利用定积分的几何意义计算定积分 87

3.4.2 计算对称区间上的定积分 89

3.4.3 计算周期函数的定积分 89

3.4.4　利用定积分的常用计算公式求定积分 90

3.4.5 已知被积函数的导数或被积函数含抽象函数的导数，求其积分 92

3.4.6　求解含积分值为常数的函数方程 93

3.5　用换元法计算定积分 94

3.5.1 计算需改变被积函数的定积分 94

3.5.2　计算需同时改变积分限和被积函数的定积分 95

3.6　计算几类需分子区间积分的定积分 96

3.6.1　计算分段函数的定积分 96

3.6.2 求被积函数含绝对值的定积分 96

3.6.3 求被积函数含最值符号max或min的定积分 97

3.6.4　计算被积函数含偶次算术方根的定积分 97

3.7　比较定积分的大小 98

3.8　求解与变限积分有关的问题 101

3.8.1 讨论变限积分函数的性态 101

3.8.2 求变限积分的导数 102

3.8.3　求含变限积分的极限 103

3.8.4　求解含有变限积分等式的有关问题 104

3.9　反常积分 105

3.9.1 判别反常积分的敛散性 105

3.9.2　计算反常积分 106

3.10　定积分的应用 109

3.10.1 已知曲线，求其所围平面图形的面积 109

3.10.2　求旋转体体积 110

3.10.3　求旋转体的侧面积（表面积） 112

3.10.4 求平面曲线的弧长 112

3.10.5 求解平面图形面积、旋转体体积与极值、最值相结合的问题 113

3.10.6 求函数在区间上的平均值 114

3.10.7 定积分在物理学中的简单应用 114

习题3 115

第4章　向量代数与空间解析几何 118

4.1　利用向量的定义和性质求解有关问题 118

4.2　计算向量的数量积、向量积与混合积 119

4.3　求平面方程 121

4.4　求直线方程 123

4.5　求点到直线或到平面的距离 124

4.6　讨论直线、平面之间的位置关系 125

4.7　建立曲面方程 128

习题4 129

第5章　多元函数微分学及其应用 132

5.1 二元函数的几个概念及其相互关系 132

5.1.1 二元函数的极限、连续、可偏导及可微的相互关系 132

5.1.2 求解x（或y）的一元函数f（x,y0）（或f(x0,y)）的有关问题 134

5.2　计算多元函数的偏导数和全微分 135

5.2.1 利用隐函数存在定理确定隐函数 135

5.2.2 计算多元显函数的偏导数 136

5.2.3　计算抽象复合函数的偏导数 137

5.2.4　求隐函数的偏导数 138

5.2.5 简化计算偏导数的若干方法 141

5.2.6 多元函数的全微分 143

5.3　求二元函数的极值和最值 145

5.3.1 求解无条件极值问题 145

5.3.2　求解条件极值问题 146

5.3.3 求函数z=f（x,y）在有界闭区域上的最值 147

5.4　二元函数微分学在几何上的应用 148

5.5　求函数的方向导数和梯度 152

习题5 155

第6章　重积分 157

6.1　交换二重积分的积分次序或转换其坐标系 157

6.1.1 交换二（累）次积分的积分次序 157

6.1.2　转换坐标系 158

6.2　计算二重积分 161

6.2.1　计算累次（二次）积分∫？（∫？f(x,y)dy）dx或∫？（∫？f(x,y)dx）dy 161

6.2.2　利用积分区域的对称性简化二重积分的计算 161

6.2.3 求需分块计算的二重积分 164

6.2.4 比较二重积分值的大小 165

6.3　三重积分的计算方法 166

习题6 170

第7章 曲线积分和曲面积分 172

7.1　计算第一类曲线积分 172

7.2　计算第二类平面曲线积分 174

7.3　求解曲线积分与路径无关的有关问题 178

7.4　第一类曲面积分的算法 180

7.5　第二类曲面积分的算法 183

7.6　利用积分曲面的对称性计算第二类曲面积分 186

7.7　曲线积分、曲面积分的应用 187

7.8　计算向量场的散度与旋度 191

习题7 192

第8章　无穷级数 194

8.1　常数项级数敛散性的判别 194

8.1.1　利用常数项级数敛散性定义及其性质判别其敛散性 194

8.1.2　判别正项级数的敛散性 196

8.1.3　判别交错级数的敛散性 200

8.1.4 判别任意项级数的敛散性 202

8.2　幂级数 205

8.2.1 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 205

8.2.2 已知一幂级数的收敛半径（收敛域），求与此幂级数有关的另一幂级数的收敛半径（收敛域） 206

8.2.3 已知两幂级数的收敛半径，求其和级数的收敛半径 209

8.2.4 利用阿贝尔定理确定幂级数的敛散性 210

8.2.5 幂级数和函数的求法 212

8.2.6 求函数的幂级数展开式 216

8.3　傅里叶级数 217

8.3.1 求傅里叶级数在某一点处的收敛和 218

8.3.2　求傅里叶级数的系数 219

习题8 220

第9章　常微分方程 223

9.1　求解一阶线性微分方程 223

9.1.1 求解可分离变量方程 223

9.1.2　求解齐次微分方程 223

9.1.3　求解一阶线性微分方程 224

9.1.4 求解可化为上述基本类型的一阶线性微分方程 227

9.2　求解可降阶的高阶微分方程 229

9.2.1 求解形如y(n)=f（x）的高阶微分方程 229

9.2.2 求解形如y″=f（x,y′）的微分方程 229

9.2.3　求解形如y″=f（y,y′）的微分方程 230

9.3　求解二阶微分方程 231

9.3.1 利用二阶线性微分方程解的性质和结构求解有关问题 231

9.3.2 求解高阶常系数齐次线性方程 232

9.3.3 确定高阶常系数非齐次线性方程的特解形式 233

9.3.4 求解二阶常系数非齐次线性微分方程 234

9.3.5 已知常系数线性微分方程的解，反求该微分方程 236

9.4　欧拉方程的解法 238

习题9 239

习题答案或提示 241