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第8章 多元函数微分法及其应用 1

8.1多元函数的基本概念 1

8.1.1二元函数 1

8.1.2 n维空间与n维函数 2

8.1.3平面点集的一些概念 2

习题8.1 4

8.2二元函数的极限与连续 4

8.2.1二元函数的极限 4

8.2.2多元函数的连续性 6

习题8.2 7

8.3偏导数 8

8.3.1偏导数的定义与计算 8

8.3.2高阶偏导数 10

习题8.3 12

8.4全微分及其应用 13

8.4.1全微分的定义 13

8.4.2函数可微的必要与充分条件 14

8.4.3微分在近似计算中的应用 16

习题8.4 17

8.5多元复合函数的求导法则 17

8.5.1链式法则 17

8.5.2全微分形式的不变性 21

习题8.5 22

8.6隐函数求导法 23

8.6.1由一个方程确定的隐函数的求导 23

8.6.2方程组的情形 25

习题8.6 27

8.7微分学在几何上的应用 28

8.7.1空间曲线的切线与法平面 28

8.7.2曲面的切平面与法线 30

习题8.7 32

8.8方向导数与梯度 33

8.8.1方向导数 33

8.8.2梯度 35

习题8.8 37

8.9多元函数的极值与求法 37

8.9.1无条件极值 37

8.9.2条件极值 39

8.9.3最大值和最小值 40

习题8.9 42

8.10二元函数的泰勒公式 43

8.10.1二元函数的泰勒公式 43

8.10.2极值充分条件的证明 45

习题8.10 47

复习题8 48

第9章 重积分 50

9.1二重积分的概念与性质 50

9.1.1二重积分的概念 50

9.1.2二重积分的性质 52

习题9.1 55

9.2二重积分的计算 56

9.2.1直角坐标系下二重积分的计算 56

习题9.2（1） 61

9.2.2极坐标系下二重积分的计算 62

习题9.2（2） 65

9.3三重积分的概念与计算 66

9.3.1三重积分的概念与性质 66

9.3.2直角坐标系下三重积分的计算 67

习题9.3 69

9.4利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 70

9.4.1利用柱面坐标计算三重积分 70

9.4.2利用球面坐标计算三重积分 72

习题9.4 74

9.5重积分的应用 75

9.5.1空间曲面的面积 75

9.5.2质心 77

9.5.3转动惯量 79

9.5.4引力 80

习题9.5 81

复习题9 83

第10章 曲线积分与曲面积分 85

10.1对弧长的曲线积分 85

10.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质 85

10.1.2对弧长的曲线积分的计算方法 86

习题10.1 88

10.2对坐标的曲线积分 89

10.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质 89

10.2.2对坐标的曲线积分的计算方法 91

10.2.3两类曲线积分之间的联系 94

习题10.2 96

10.3格林公式及其应用 97

10.3.1格林公式 97

10.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件 101

10.3.3二元函数的全微分求积 104

习题10.3 106

10.4对面积的曲面积分 107

10.4.1对面积的曲面积分的概念与性质 108

10.4.2对面积的曲面积分的计算方法 109

习题10.4 110

10.5对坐标的曲面积分 111

10.5.1对坐标的曲面积分的实际背景 112

10.5.2对坐标的曲面积分的概念与性质 113

10.5.3对坐标的曲面积分的计算方法 114

10.5.4两类曲面积分之间的联系 116

习题10.5 119

10.6高斯公式及其应用 120

10.6.1高斯公式及其应用 120

10.6.2通量与散度 122

习题10.6 123

10.7斯托克斯公式及其应用 124

10.7.1斯托克斯公式 124

10.7.2环流量与旋度 126

习题10.7 127

复习题10 128

第11章 无穷级数 132

11.1常数项级数的概念与性质 132

11.1.1常数项级数的概念 132

11.1.2收敛级数的性质 134

习题11.1 135

11.2常数项级数的审敛法 136

11.2.1正项级数及其审敛法 136

11.2.2交错级数及其审敛法 139

11.2.3绝对收敛与条件收敛 140

习题11.2 141

11.3幂级数 143

11.3.1函数项级数的概念 143

11.3.2幂级数及其收敛性 143

11.3.3幂级数的运算 146

习题11.3 148

11.4函数展开成幂级数及其应用 149

11.4.1泰勒级数 149

11.4.2函数展开成幂级数 150

11.4.3幂级数展开式的应用 152

习题11.4 154

11.5傅里叶级数及其应用 154

11.5.1以2π为周期的周期函数的傅里叶级数 155

11.5.2正弦级数和余弦级数 159

11.5.3以2l为周期的周期函数的傅里叶级数 161

11.5.4傅里叶级数应用举例 162

习题11.5 164

复习题11 165

第12章 微分方程 167

12.1微分方程的基本概念 167

习题12.1 168

12.2可分离变量的微分方程 169

习题12.2 170

12.3齐次方程 171

习题12.3 173

12.4一阶线性微分方程 174

12.4.1一阶线性微分方程 174

12.4.2伯努利方程 175

习题12.4 176

12.5全微分方程 177

习题12.5 178

12.6可降阶的高阶微分方程 179

12.6.1 y（n） = f （x）型方程 179

12.6.2 y″= f（x， y′）型方程 179

12.6.3y″= f（y，y′）型方程 180

习题12.6 180

12.7高阶线性微分方程 181

12.7.1二阶齐次线性微分方程解的性质与通解结构 181

12.7.2二阶非齐次线性方程解的性质与通解结构 182

12.8二阶常系数齐次线性微分方程 183

习题12.8 185

12.9常系数非齐次线性微分方程 186

12.9.1 f（x）=eλx Pm（x）型（Pm（x）为m次多项式） 186

12.9.2 f（x）=Pm （x） eλx cosωx或Pm（x） eλxsinωx 型 189

习题12.9 190

12.10欧拉方程 191

习题12.10 192

12.11微分方程的幂级数解法 193

习题12.11 195

复习题12 195

习题解答与提示 197

参考文献 223