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第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数的相关概念及运算 1

1.1.1 复数的定义及四则运算 1

1.1.2 复平面、复数的模与辐角 2

1.1.3 复数的乘幂及n次方根 4

练习1.1 7

1.2 复平面上的点集 7

1.2.1 平面点集的几个概念 7

1.2.2 区域与曲线 8

1.2.3 无穷远点 9

练习1.2 10

1.3 复变函数 11

1.3.1 复变函数及其相关概念 11

1.3.2 复变函数的极限与连续性 13

练习1.3 17

第2章 解析函数 19

2.1 解析函数的概念与C.-R．条件 19

2.1.1 复变函数的导数与微分 19

2.1.2 解析函数及其简单性质 20

2.1.3 柯西黎曼条件 23

练习2.1 26

2.2 初等解析函数 27

2.2.1 幂函数 27

2.2.2 指数函数 28

2.2.3 三角函数与双曲函数 29

2.2.4 根式函数 32

2.2.5 对数函数 34

2.2.6 一般幂函数与一般指数函数 36

练习2.2 37

2.3 解析函数与调和函数 38

练习2.3 42

第3章 复变函数的积分 43

3.1 复积分的初步知识 43

3.1.1 复积分的概念 43

3.1.2 复积分存在的一个条件 44

3.1.3 复积分的基本性质 46

3.1.4 复积分的计算问题 47

练习3.1 49

3.2 积分基本定理 49

3.2.1 柯西积分定理 49

3.2.2 柯西积分定理的推广 55

练习3.2 57

3.3 牛顿-莱布尼兹公式 58

练习3.3 60

3.4 柯西积分公式及其推论 61

3.4.1 柯西积分公式 61

3.4.2 解析函数的无穷可微性 63

练习3.4 65

3.5 积分理论的应用 66

3.5.1 柯西不等式与刘维尔定理 66

3.5.2 代数学基本定理 66

3.5.3 摩勒拉定理 67

练习3.5 69

第4章 解析函数的幂级数展开 70

4.1 复级数的基本概念 70

4.1.1 常数项级数 70

4.1.2 函数项级数 72

练习4.1 75

4.2 幂级数 76

4.2.1 幂级数的概念 76

4.2.2 幂级数的收敛半径 76

4.2.3 和函数的解析性 79

练习4.2 80

4.3 解析函数的Taylor展开式 81

4.3.1 泰勒定理 81

4.3.2 解析函数展成幂级数的方法 84

练习4.3 86

4.4 解析函数零点的孤立性及惟一性定理 87

4.4.1 解析函数零点的孤立性 87

4.4.2 解析函数的惟一性 88

4.4.3 最大模原理 90

练习4.4 92

第5章 解析函数的罗朗级数展开与孤立奇点 93

5.1 双边幂级数 93

5.1.1 双边幂级数的概念 93

5.1.2 双边幂级数的收敛域及其和函数的解析性 94

练习5.1 95

5.2 解析函数的罗朗展式 96

练习5.2 99

5.3 解析函数的孤立奇点 100

5.3.1 孤立奇点的类型 100

5.3.2 孤立奇点类型的判定 101

练习5.3 105

5.4 解析函数在无穷远点去心邻域内的性质 106

练习5.4 109

5.5 整函数与亚纯函数的概念 110

练习5.5 111

第6章 留数理论及其应用 112

6.1 留数的概念及其计算 112

6.1.1 留数的定义 112

6.1.2 留数的计算 113

6.1.3 函数在无穷远点的留数 115

练习6.1 116

6.2 留数的基本定理 117

练习6.2 119

6.3 留数定理的应用——计算实积分 120

6.3.1 计算？R(cosθ,sinθ)dθ型积分 120

6.3.2 计算？R(x)eimxdx型积分 122

练习6.3 128

6.4 留数定理的应用——辐角原理 129

6.4.1 对数留数 129

6.4.2 辐角原理 131

练习6.4 134

第7章 共形映射 135

7.1 解析变换的特性 135

7.1.1 解析变换的保域性 135

7.1.2 解析变换的保角性——导数的几何意义 137

7.1.3 单叶解析变换的共形性 139

练习7.1 141

7.2 分式线性变换 141

7.2.1 分式线性变换及其分解 141

7.2.2 分式线性变换的共形性 143

7.2.3 分式线性变换的保交比性 144

7.2.4 分式线性变换的保圆周性 145

7.2.5 分式线性变换的保对称点性 145

7.2.6 分式线性变换的应用 146

练习7.2 147

7.3 某些初等函数所构成的共形映射 148

7.3.1 幂函数与根式函数 148

7.3.2 指数函数与对数函数 149

练习7.3 150

术语索引 151

参考文献 153