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第一部分 理论 2

第1章 数学基础 2

1.1 概率论基本知识 2

1.1.1 联合界 2

1.1.2 独立性 2

1.1.3 二维随机变量 3

1.1.4 马尔可夫、切比雪夫不等式和切尔诺夫界 3

1.1.5 特征函数和傅里叶变换 4

1.1.6 概率密度函数的拉普拉斯变换 5

1.1.7 概率母函数 5

1.2 独立的随机标量之和与中心极限定理 6

1.3 独立的随机标量之和及几个典型的偏差不等式 7

1.3.1 由概率界到期望界的转换 8

1.3.2 Hoeffding不等式 8

1.3.3 伯恩斯坦不等式 9

1.4 概率论与矩阵分析 11

1.4.1 特征值、迹以及埃尔米特矩阵之和 11

1.4.2 半正定矩阵 11

1.4.3 半正定矩阵的偏序 12

1.4.4 矩阵函数f（A）的定义 13

1.4.5 矩阵与向量的范数 13

1.4.6 期望 14

1.4.7 矩和尾概率 16

1.4.8 随机向量与Jen8en不等式 19

1.4.9 收敛 19

1.4.10 独立的随机标量之和：切尔诺夫不等式 19

1.4.11 随机矩阵的期望 20

1.4.12 特征值和谱范数 20

1.4.13 谱映射 21

1.4.14 算子凸性与单调性 22

1.4.15 矩阵函数之迹的单调性和凸性 23

1.4.16 矩阵指数 24

1.4.17 Golden-Thompson不等式 24

1.4.18 矩阵对数 25

1.4.19 量子相对熵和布雷格曼散度 25

1.4.20 Lieb定理 27

1.4.21 矩阵扩张 28

1.4.22 半正定矩阵和偏序 28

1.4.23 期望与半定序 29

1.4.24 概率的矩阵表示 29

1.4.25 等距性 29

1.4.26 特征值的Courant-Fischer性质 30

1.5 由非独立到独立的解耦 30

1.6 随机矩阵的基础知识 35

1.6.1 傅里叶法 36

1.6.2 矩的方法 36

1.6.3 复高斯随机矩阵的期望矩 36

1.6.4 埃尔米特高斯随机矩阵HGRM（n，σ2） 37

1.6.5 高斯随机矩阵GRM（m，n，σ2） 39

1.7 亚高斯随机变量 40

1.8 亚高斯随机向量 42

1.9 亚指数随机变量 43

1.10 g-网 44

1.11 拉德马赫均值与对称化 45

1.12 作用于亚高斯随机向量的算子 47

1.13 随机过程的上确界 49

1.14 伯努利序列 50

1.15 由随机矩阵和到随机向量和的转换 50

1.16 线性有界紧算子 52

1.17 自伴随紧算子的谱 53

第2章 矩阵值随机变量之和 55

2.1 随机矩阵和的推导方法 55

2.2 矩阵拉普拉斯变换方法 56

2.2.1 方法1——Harvey推导 56

2.2.2 方法2——Vershynin推导 59

2.2.3 方法3——Oliveria推导 60

2.2.4 方法4——Ahlswede-Winter推导 61

2.2.5 方法5——Gross，Liu，Flammia，Becker以及Eisert 68

2.2.6 方法6——Recht推导 68

2.2.7 方法7——Wigderson和Xiao推导 69

2.2.8 方法8——Tropp推导 69

2.3 矩阵累积量的拉普拉斯变换方法 69

2.4 矩母函数的不适用性 70

2.5 矩阵累积量母函数的次可加性 71

2.6 独立随机矩阵之和的尾概率界 72

2.7 矩阵高斯级数——个例研究 74

2.8 应用：具有非均匀方差的高斯矩阵 76

2.9 期望控制 76

2.10 随机半正定矩阵的和 78

2.11 矩阵Bennett和伯恩斯坦不等式 81

2.12 随机矩阵之和的所有特征值的尾概率界 82

2.13 内部特征值的切尔诺夫界 84

2.14 通过随机矩阵和完成线性滤波 86

2.15 随机矩阵和的无维数限制不等式 88

2.16 一些欣钦型不等式 90

2.17 半正定矩阵的稀疏和 93

第3章 测量的集中性 94

3.1 测量的集中现象 94

3.2 卡方分布 95

3.3 随机向量的测量集中性 96

3.4 Slepian-Fernique引理和高斯随机矩阵的测量集中性 103

3.5 Dudley不等式 105

3.6 诱导算子范数的集中 107

3.7 高斯和Wishart随机矩阵的测量集中性 112

3.8 算子范数的测量集中性 117

3.9 高斯随机矩阵的测量集中性 120

3.10 最大特征值的测量集中性 123

3.10.1 Talagrand不等式方法 124

3.10.2 链方法 124

3.10.3 一般随机矩阵 125

3.11 随机向量投影的测量集中性 126

3.12 进一步讨论 128

第4章 特征值及其函数的集中性 129

4.1 特征值和范数的上确界表示 129

4.2 特征值的利普希茨映射 131

4.3 矩阵特征值和矩阵迹的平滑性及凸性 132

4.4 矩阵函数的泰勒级数近似法 137

4.5 Talagrand集中不等式 140

4.6 维格纳随机矩阵的谱测度集中理论 141

4.7 随机矩阵的非可交换多项式集中性 144

4.8 Wishart随机矩阵的谱测度集中性 145

4.9 两个随机矩阵和的集中性 153

4.10 子矩阵的集中性 154

4.11 矩方法 154

4.12 迹函数的集中性 158

4.13 特征值的集中性 158

4.14 大随机矩阵函数的集中性：线性谱统计量 159

4.15 二次型的集中性 161

4.16 随机向量和子空间的距离 167

4.17 斯蒂尔切斯变换域的随机矩阵集中性 169

4.18 冯·诺依曼熵函数的集中性 171

4.19 随机过程的上确界 173

4.20 进一步讨论 173

第5章 随机矩阵的局部非渐近性理论 175

5.1 符号记法和基础知识 175

5.2 迷向凸体 176

5.3 对数凹的随机向量 178

5.4 Rudelson定理 179

5.5 行独立的样本协方差矩阵 181

5.6 对数凹迷向随机向量的集中理论 187

5.6.1 Paouris集中不等式 187

5.6.2 非增重排及次序统计量 189

5.6.3 样本协方差 189

5.7 小球概率的集中不等式 191

5.8 矩估计 193

5.8.1 对数凹的迷向随机向量的矩 194

5.8.2 凸测度的矩 196

5.9 随机矩阵的大数定律 198

5.10 低秩近似 201

5.11 元素相互独立的随机矩阵 203

5.12 具有独立行向量的随机矩阵 204

5.12.1 独立的行 204

5.12.2 重尾分布的行 205

5.13 协方差矩阵的估计 207

5.14 奇异值的集中性 210

5.14.1 紧致小偏差 211

5.14.2 高矩阵 211

5.14.3 近似方阵 211

5.14.4 方阵 212

5.14.5 长方形矩阵 212

5.14.6 随机矩阵和确定性矩阵的乘积 213

5.14.7 随机矩阵的行列式 215

5.15 随机矩阵的可逆性 217

5.16 奇异值的普适性 218

5.16.1 随机矩阵加确定的矩阵 221

5.16.2 协方差矩阵和相关矩阵的普适性 224

5.17 进一步讨论 226

第6章 随机矩阵的全局渐近理论 228

6.1 大随机矩阵 228

6.2 极限分布律 229

6.3 矩方法 229

6.4 斯蒂尔切斯变换 230

6.5 自由概率 232

6.5.1 概念 232

6.5.2 实际意义 233

6.5.3 定义和基本性质 234

6.5.4 自由独立性 235

6.5.5 自由卷积 236

6.6 斯蒂尔切斯，R和S变换表格 237

第二部分 应用 241

第7章 压缩感知与稀疏重构 241

7.1 压缩感知 241

7.2 JL引理与RIP条件 243

7.3 结构化随机矩阵 249

7.4 循环矩阵 249

7.5 随机测量矩阵与确定性字典 249

7.6 部分随机循环矩阵 255

7.7 时频结构化矩阵 260

7.8 混沌过程的上确界 263

7.9 特普利茨随机矩阵 265

7.10 确定性矩阵 266

第8章 矩阵填充与低秩矩阵重构 267

8.1 低秩矩阵恢复 267

8.2 矩阵RIP性质 268

8.3 重构误差限 269

8.4 假设检验 269

8.5 高维统计学 270

8.6 矩阵压缩感知 271

8.6.1 观测模型 271

8.6.2 核范数正则化 271

8.6.3 限制强凸性 272

8.6.4 低秩矩阵重构的误差限 272

8.7 线性回归 275

8.8 多任务矩阵回归 277

8.9 矩阵填充 279

8.9.1 正交分解与正交投影 279

8.9.2 矩阵填充 280

8.10 冯·诺依曼熵惩罚与低秩矩阵预测 282

8.10.1 系统模型 282

8.10.2 基于正交基的采样 283

8.10.3 低秩矩阵估计 284

8.10.4 所用工具 285

8.11 大量凸成分函数和 285

8.12 基于矩阵填充的相位恢复 287

8.12.1 方法学 288

8.12.2 基于凸优化的矩阵恢复 289

8.12.3 相位空间成像 290

8.12.4 自相关RF断层成像 291

8.13 进一步讨论 296

第9章 高维协方差矩阵估计 297

9.1 大局观：感知、通信、计算和控制 297

9.1.1 接收信号强度（RSS）及其在异常检测中的应用 299

9.1.2 非连续正交频分复用（NC-OFDM）波形及其在异常检测中的应用 299

9.2 协方差矩阵估计 300

9.2.1 经典协方差估计 300

9.2.2 掩模化样本协方差矩阵 301

9.2.3 平稳时间序列的协方差矩阵估计 308

9.3 协方差矩阵估计 309

9.4 协方差矩阵的部分估计 310

9.5 无限维数据的协方差矩阵估计 311

9.6 信号加噪声Y＝S＋X的矩阵模型 312

9.7 鲁棒的协方差估计 315

第10章 高维检测 317

10.1 OFDM雷达 317

10.2 主成分分析 317

10.3 稀疏主成分 319

10.4 基于随机矩阵之和的信息加噪模型 320

10.5 矩阵假设检验 321

10.6 随机矩阵检测 322

10.7 稀疏备择假设的球形检验 325

10.8 与随机矩阵理论的联系 326

10.8.1 谱方法 326

10.8.2 Wishart矩阵的低秩扰动 327

10.9 稀疏的主成分检测 327

10.9.1 κ稀疏最大特征值的集中不等式 327

10.9.2 基于λκmax的假设检验 328

10.9.3 稀疏特征值 329

10.10 稀疏主成分检验的半定方法 329

10.10.1 λκmax计算问题的半定松弛 329

10.10.2 凸松弛的高概率界 330

10.10.3 基于凸方法的假设检验 330

10.11 稀疏向量估计 331

10.12 高维向量检测 332

10.13 高维匹配子空间检测 335

10.14 基于压缩感知的高维向量子空间检测 336

10.15 数据矩阵检测 338

10.16 高维双样本检验 339

10.17 与非可交换随机矩阵假设检验的联系 342

第11章 概率约束的优化问题 343

11.1 问题描述 343

11.2 随机对称矩阵之和 344

11.3 随机矩阵之和的应用 349

11.4 机会约束的线性矩阵不等式 354

11.5 概率约束的优化问题 354

11.6 采用协同干扰机制的概率安全AF中继 357

11.6.1 引言 357

11.6.2 系统模型 358

11.6.3 提出的方法 361

11.6.4 仿真结果 364

11.7 进一步讨论 365

第12章 数据集的高效处理算法 366

12.1 低秩矩阵近似 366

12.2 矩阵算法的行采样 367

12.3 近似矩阵乘法 368

12.4 矩阵和张量稀疏化 369

12.5 进一步讨论 371

第13章 网络到大数据 372

13.1 大数据的大随机矩阵 372

13.2 高维假设检测实例 373

13.3 认知无线电网络测试平台 374

13.4 无线分布式计算 375

13.5 数据收集 376

13.6 数据存储与管理 376

13.7 大数据集的数据挖掘 377

13.8 无人飞行器对无线网络移动性的利用 377

13.9 智能电网 377

13.10 从认知无线电网络到复杂网络和随机图 377

13.11 随机矩阵理论和集中测量 377

参考文献 379