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第1章 行列式 1

1.1 行列式的定义 1

1.1.1 二阶与三阶行列式 1

1.1.2 全排列及其逆序数 4

1.1.3 n阶行列式的定义 6

习题1.1 9

1.2 行列式的性质及展开定理 10

1.2.1 行列式的性质 10

1.2.2 行列式按行（列）展开定理 16

习题1.2 21

1.3 克拉默法则 22

习题1.3 25

1.4 行列式的计算综合举例 25

习题1.4 28

1.5 应用举例 29

1.5.1 行列式在平面图形上的应用 29

1.5.2 行列式在空间解析几何上的应用 30

本章学习要点 32

复习题一 32

A组（基础测试题） 32

B组（考研试题选） 34

第2章 矩阵及其运算 35

2.1 矩阵的基本概念 35

2.2 矩阵的基本运算 39

2.2.1 矩阵的加法 39

2.2.2 数与矩阵相乘 41

2.2.3 矩阵的乘法 42

2.2.4 矩阵的转置 48

2.2.5 方阵的行列式 50

习题2.2 52

2.3 逆矩阵 53

2.3.1 逆矩阵的定义 53

2.3.2 逆矩阵的运算规律 55

2.3.3 逆矩阵的计算 55

习题2.3 60

2.4 分块矩阵 60

2.4.1 分块矩阵的定义 60

2.4.2 分块矩阵的运算 61

习题2.4 64

2.5 应用举例 65

2.5.1 矩阵在交通问题上的应用 65

2.5.2 矩阵在情报检索模型上的应用 66

2.5.3 可逆阵在保密编译码上的应用 67

本章学习要点 68

复习题二 68

A组（基础测试题） 68

B组（考研试题选） 70

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 71

3.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 71

3.1.1 初等变换的定义及性质 71

3.1.2 矩阵化为行阶梯形矩阵 74

3.1.3 初等矩阵 76

3.1.4 利用初等变换求逆矩阵 79

习题3.1 80

3.2 矩阵的秩 81

3.2.1 矩阵的秩的定义 81

3.2.2 利用初等变换求矩阵的秩 82

3.2.3 矩阵的秩的性质 86

习题3.2 88

3.3 线性方程组的解 88

3.3.1 线性方程组有解的条件 88

3.3.2 求解线性方程组 93

习题3.3 98

3.4 应用举例 98

本章学习要点 99

复习题三 101

A组（基础测试题） 101

B组（考研试题选） 102

第4章 向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构 103

4.1 向量组及其线性组合 103

4.1.1 向量组及其线性组合的概念 103

4.1.2 向量由向量组线性表示 105

4.1.3 向量组由向量组线性表示 107

习题4.1 109

4.2 向量组的线性相关与线性无关 109

4.2.1 线性相关与线性无关 109

4.2.2 主要结论 112

习题4.2 114

4.3 向量组的秩 114

4.3.1 最大线性无关向量组与向量组的秩 114

4.3.2 矩阵的秩与向量组的秩的关系 116

习题4.3 119

4.4 线性方程组的解的结构 119

4.4.1 线性方程组的解的性质 119

4.4.2 基础解系与线性方程组的解 120

习题4.4 128

4.5 向量空间 129

4.5.1 向量空间的定义 129

4.5.2 基变换与过渡矩阵 130

习题4.5 134

4.6 应用举例 134

本章学习要点 137

复习题四 138

A组（基础测试题） 138

B组（考研试题选） 141

第5章 相似矩阵及二次型 143

5.1 向量的内积、长度及正交性 143

5.1.1 相关概念 143

5.1.2 规范正交基与施密特正交化方法 146

5.1.3 正交矩阵与正交变换 148

习题5.1 150

5.2 方阵的特征值与特征向量 150

习题5.2 154

5.3 矩阵的对角化 155

5.3.1 相似矩阵与相似对角化 155

5.3.2 对称矩阵 159

5.3.3 对称矩阵的对角化 160

习题5.3 162

5.4 二次型及其标准形 162

5.4.1 二次型及其标准形的概念 162

5.4.2 用正交变换化二次型为标准形 164

5.4.3 用配方法化二次型为标准形 167

习题5.4 169

5.5 正定二次型 169

习题5.5 171

5.6 应用举例 171

5.6.1 矩阵相似对角化的应用 171

5.6.2 二次型理论的应用 173

本章学习要点 175

复习题五 176

A组（基础测试题） 176

B组（考研试题选） 178

第6章 线性代数数学实验 179

6.1 实验一 矩阵的输入与特殊矩阵的生成 179

6.1.1 实验目的 179

6.1.2 实验内容 179

6.1.3 实验题目 182

6.2 实验二 矩阵代数的运算 182

6.2.1 实验目的 182

6.2.2 实验内容 182

6.2.3 实验题目 185

6.3 实验三 求线性方程组的解 186

6.3.1 实验目的 186

6.3.2 实验内容 186

6.3.3 实验题目 193

6.4 实验四 线性表示与最大线性无关向量组 193

6.4.1 实验目的 193

6.4.2 实验内容 194

6.4.3 实验题目 197

6.5 实验五 求矩阵的特征值与特征向量 197

6.5.1 实验目的 197

6.5.2 实验内容 197

6.5.3 实验题目 200

6.6 实验六 求正交变换及化二次型为标准形 200

6.6.1 实验目的 200

6.6.2 实验内容 200

6.6.3 实验题目 203

部分习题参考答案 204

参考文献 224