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第1章 矢量分析 1

1.1 矢量及其坐标表达式 1

1.2 矢量的基本运算 3

1.2.1 数量乘矢量 3

1.2.2 矢量和与差 3

1.2.3 矢量的数量积 4

1.2.4 矢量的矢积 6

1.3 混合积与二重矢量积 7

1.3.1 混合积 7

1.3.2 二重矢量积 9

1.3.3 拉格朗日恒等式 9

1.4 旋转矢量 10

1.4.1 旋转矢量及其展开式 10

1.4.2 旋转矢量的性质 11

1.5 矢量的螺旋运动 13

1.6 矢函数及其微导 14

1.6.1 矢函数 14

1.6.2 矢函数的微导及其几何意义 15

1.6.3 矢函数求导公式 16

1.6.4 几种特殊矢函数的导矢 17

1.6.5 矢函数的泰勒公式 20

1.6.6 旋转矢量的微分 20

1.7 矢函数的积分 20

习题 21

第2章 曲线 23

2.1 曲线的参数方程 23

2.2 用旋转矢量求曲线的参数方程 24

2.3 曲线的弧长与自然参数 31

2.4 曲线的切线与法面 34

2.5 曲线的切面与密切面 36

2.6 曲线的基本三棱形 38

2.7 曲线的基本公式 40

2.8 曲线的曲率和挠率 42

2.8.1 曲率 42

2.8.2 挠率 43

2.8.3 曲率与挠率计算公式 45

2.9 平面曲线 46

2.9.1 相对曲率与基本公式 46

2.9.2 相对曲率的计算公式 48

2.10 曲线计算实例 50

2.10.1 等螺距圆柱螺旋线 50

2.10.2 圆的渐开线 52

2.10.3 阿基米德螺线 53

2.11 曲线在一点邻近的结构 54

2.11.1 曲线的标准展开式 54

2.11.2 曲线在三棱形三个平面上的投影 55

2.11.3 曲线在一点邻近的结构 57

2.12 基本公式的运动学意义 58

习题 60

第3章 曲面 63

3.1 曲面的参数方程 63

3.2 用旋转矢量求曲面的参数方程 66

3.2.1 旋转面 66

3.2.2 单叶双曲面 70

3.2.3 等螺距圆柱螺旋面 72

3.2.4 等螺距环面螺旋面 80

3.3 曲面的切面与法线 81

3.4 螺旋面的法线矢量 84

3.4.1 等螺距圆柱螺旋面的法线矢量 84

3.4.2 线性螺旋面的法线矢量 86

3.4.3 圆螺旋面的法线矢量 87

3.5 直纹面与可展曲面 89

3.5.1 直纹面 89

3.5.2 可展曲面 91

3.6 第一基本形式 94

3.6.1 曲面上的度量 94

3.6.2 曲面上曲线的弧长及二曲线的交角 95

3.7 第二基本形式 98

3.7.1 曲面的法截形与法曲率 98

3.7.2 曲面的第二基本形式 99

3.7.3 曲面上曲线的曲率与默尼埃定理 101

3.7.4 渐近方向与渐近线 102

3.8 主方向与主曲率 104

2.8.1 曲面上的脐点 104

3.8.2 曲面的主方向和主曲率 105

3.8.3 曲率线 108

3.8.4 罗德里克方程 109

3.9 欧拉公式 112

3.10 曲面在一点邻近的结构 115

3.10.1 椭圆点 116

3.10.2 双曲点 116

3.10.3 抛物点 117

3.10.4 杜潘标形 119

3.11 短程曲率与短程线 120

3.11.1 短程曲率 120

3.11.2 短程线 121

3.12 短程挠率 122

3.12.1 短程线的挠率 122

3.12.2 短程挠率 123

3.12.3 短程挠率的另一表达式 123

3.12.4 贝特朗公式 124

3.12.5 短程挠率的几何意义 125

3.13 曲面三棱形及其运动 129

3.14 欧拉公式和贝特朗公式的推广 131

3.15 曲面计算实例 134

3.15.1 圆柱面 134

3.15.2 单叶双曲面 137

3.15.3 法面圆螺旋面 139

3.16 曲面的曲率圆 142

3.17 两相切曲面的诱导曲率圆 147

习题 154

第4章 包络 157

4.1 平面曲线族的包络线 157

4.2 平面曲线的等距曲线 162

4.3 单参数平面族的包络面 168

4.3.1 特征线与包络面 169

4.3.2 特征点与脊线 172

4.4 单参数曲面族的包络面和特征线 174

4.4.1 单参数曲面族的包络面 174

4.4.2 单参数曲面族的特征线 177

4.5 单参数曲面族的特征点和脊线 178

4.5.1 单参数曲面族的特征点 178

4.5.2 包络面上的奇点和脊线 181

4.6 螺旋运动曲面族的包络面 183

4.6.1 螺旋运动曲面族包络面的一般方程 183

4.6.2 螺旋运动平面族的包络面 185

习题 187

参考文献 189