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第十二章 空间解析几何 1

12.1 空间直角坐标系 1

一、空间直角坐标系 1

二、点的坐标 1

习题一 1

一、向量及其表示 1

12.2 向量代数 2

二、向量的加减法 3

四、向量的坐标表示 4

三、向量的数乘 4

五、向量的模和方向余弦 6

习题二 7

六、向量的投影向量与投影 8

七、向量的点乘 8

八、二阶、三阶行列式 11

九、向量的叉乘 12

习题三 16

12.3 空间的平面与直线 17

一、平面的点法式方程 17

二、平面的一般方程 18

二、在直角坐标系中计算三重积分 19

四、直线的标准方程 20

五、直线的一般方程 21

习题四 22

12.4 空间的曲面与曲线介绍 23

一、球面 23

二、椭球面 23

三、柱面 25

四、椭园抛物面 26

五、其他二次曲面介绍 27

六、空间曲线的表示法 27

七、曲线在坐标面上的投影 28

习题 30

三、直线的参数方程 30

一、实例与概念 31

第十三章 多元函数微分学 31

13.1 多元函数 31

二、区域 34

三、习题一 35

13.2 多元函数的极限与连续性 35

一、多元函数的极限 35

二、多元函数的连续性 37

三、有界闭区域上连续函数的性质 39

习题二 40

13.3 偏微商 40

一、偏微商的概念与计算 41

三、高阶偏微商 43

二、二阶偏微商的几何意义 43

习题三 45

13.4 全微分 46

一、全微分的概念 46

二、全微分的几何意义 49

三、全微分在近似计算中的应用 50

四、高阶全微分 52

习题四 54

13.5 复合函数的微分法 54

一、复合函数的微分法 54

13.7 隐函数存在定理 56

二、一阶全微分形式的不变性 59

习题五 61

13.6 方向微商与梯度 62

一、方向微商 62

二、梯度 64

习题六 66

一、隐函数存在定理 66

二、方程组的情形 69

三、雅可比行列式的性质 71

习题七 73

13.8 二元函数的泰勒公式 74

习题八 76

13.9 多元函数的极值 76

一、多元函数的极值 77

二、多元函数的最大值、最小值应用举例 78

三、条件极值 81

习题九 84

13.10 空间曲线的切线与曲面的切平面 85

一、空间曲线的切线与法平面 85

二、曲面的切平面与法线 86

习题十 88

第十四章 多重积分 89

14.1 二重积分的概念与性质 89

一、两个实例 89

二、二重积分的性质 91

习题一 92

14.2 在直角坐标系中计算二重积分 92

习题二 98

14.3 在极坐标系中计算二重积分 99

习题三 101

14.4 二重积分的变数替换 102

习题四 108

14.5 三重积分的概念与计算 108

一、三重积分的概念 108

三、在球坐标系中计算三重积分 111

四、在柱坐标系中计算三重积分 113

五、三重积分的变数替换 115

习题五 116

14.6 多重积分的应用 117

一、曲面的面积 117

二、物体的重心和转动惯量 118

三、物质薄片的重心与转动惯量 120

四、空间物体的引力 121

习题六 122

第十五章 曲线积分、曲面积分与场论 123

15.1 场的概念 123

一、数量场与向量场 123

二、数量场的等值面 123

三、向量场的力线 124

习题一 125

15.2 曲线积分 125

一、第一型曲线积分的概念 125

二、第一型曲线积分的计算 126

三、第二型曲线积分的概念 128

四、两种曲线积分的关系 129

五、第二型曲线积分的计算 130

习题二 132

六、格林公式 133

七、平面上曲线积分与路径无关的条件 136

习题三 137

一、第一型曲面积分的概念与计算 138

15.3 曲面积分 138

二、第二型曲面积分的概念 140

三、两种曲面积分的转化公式 142

四、第二型曲面积分的坐标形式 143

习题四 145

五、高斯公式 146

六、斯托克斯公式 149

习题五 151

15.4 场论 152

一、数量场的梯度与哈密顿算子 152

四、环量与环量面密度 153

二、散度的概念 154

三、散度的直角坐标表示 156

五、旋度 160

六、保守场 162

习题六 165