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第一章 曲线论 1

1 向量代数复习 1

2 向量函数 6

2.1 向量函数的极限 6

2.2 向量函数的连续性 9

2.3 向量函数的微商 10

2.4 定长向量 15

2.5 向量函数的积分 16

3.1 曲线的概念 17

3 曲线的概念 17

3.2 曲线的切向量 曲线的正则点 20

3.3 曲线的弧长 弧长参数 23

4 空间曲线 29

4.1 密切平面 29

4.2 基本三面形 30

4.3 曲率和挠率 32

4.4 Frenet公式 40

4.5 曲线在一点邻近的结构 42

4.6 空间曲线论基本定理曲线的自然方程 51

5.1 平面曲线 60

5 特殊曲线 60

5.2 渐伸线和渐缩线 70

5.3 ＊Bertrand曲线 75

第二章 曲面论 81

1 曲面的概念 81

1.1 曲面的参数表示 81

1.2 曲面的切平面和法线 83

2 曲面的第一基本形式 91

2.1 第一基本形式 91

2.3 曲面上两相交曲线的夹角 92

2.2 曲面上曲线的弧长 92

2.4 曲面域的面积 94

2.5 等距对应 99

2.6 保形对应 103

2.7 曲面上的正交参数曲线网 109

3 曲面的第二基本形式 111

3.1 第二基本形式 111

3.2 曲面上曲线的曲率 115

3.3 杜班（Dupin）指标线Euler公式 116

3.4 渐近方向和共轭方向 120

3.5 曲面的主方向和曲率线 124

3.6 曲面的主曲率 132

3.7 Gauss曲率与平均曲率 133

3.8 曲面在一点邻近的结构 141

4 直纹面 可展曲面与单参数曲面族的包络面 145

4.1 直纹面 145

4.2 可展曲面 147

4.3 单参数曲面族（平面族）的包络面 150

4.4 可展曲面的重要特征 155

5.1 曲面的基本公式Christoffel符号 160

5 曲面论的基本定理 160

5.3 Riemann曲率张量 171

5.4 曲面论的基本定理 176

6 曲面上的测地线 190

6.1 曲面上曲线的测地曲率 190

6.2 曲面上的测地线 196

5.2 曲面的基本方程 197

6.3 可展曲面上测地线的一种计算法 203

6.4 曲面上的半测地坐标系和极坐标系＊ 207

6.5 Gauss——Bonnet公式 213

7 特殊曲面 218

7.1 常Gauss曲率的曲面…伪球面、罗氏几何、常Gauss曲率的旋转曲面＊ 218

7.2 极小曲面 231

8 曲面上向量的平行动移 236

8.1 Levi—Civita平移 236

8.2 Causs曲率的一项几何意义 238

第三章 外微分形式和活动标架法 243

1 外微分形式 243

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数 243

1.2 外微分形式 246

1.3 Frobenius条件 257

2 活动标架 278

2.1 活动标架和结构方程 278

2.2 活动标架法 284

3 用活动标架法研究曲面 291

3.1 曲面论的基本定理 291

3.2 曲面的第一、第二基本形式 292

3.3 曲面上的曲率 293

3.4 曲面上的Levi——Civita平行移动 298

附录 306