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第0章 绪论 1

0.1高等数学概论 1

0.1.1高等数学的发展过程 1

0.1.2微积分研究的两个基本问题及方法 2

0.1.3高等数学与初等数学的比较 6

0.1.4学习高等数学的方法 6

0.2初识符号计算系统Mathematica 7

0.2.1 Mathematica的启动和运行 8

0.2.2 Mathematica的输入及运算 10

0.2.3 Mathematica的联机帮助系统 13

习题0.2 15

数学欣赏 自然对数的底e的来历与自然对数的引入 16

第1章 函数极限与连续 18

1.1函数的概念 18

1.1.1集合 区间与邻域 18

1.1.2函数的概念 19

1.1.3函数的几种特性 21

习题1.1 22

1.2初等函数 23

1.2.1反函数 23

1.2.2复合函数 24

1.2.3初等函数 25

1.2.4双曲函数与反双曲函数 25

习题1.2 28

1.3数列的极限 28

1.3.1数列极限的概念 28

1.3.2收敛数列的性质 32

1.3.3数列极限的四则运算法则 34

1.3.4数列极限存在准则 37

习题1.3 39

1.4函数的极限 41

1.4.1自变量趋于无穷大时函数的极限 41

1.4.2自变量趋于有限值时函数的极限 42

1.4.3函数极限的性质 46

习题1.4.4 47

1.5无穷小量与无穷大量 47

1.5.1无穷小量 47

1.5.2无穷大量 48

1.5.3无穷小量的运算定理 50

习题1.5 52

1.6函数极限的运算法则 52

习题1.6 55

1.7夹逼准则 两个重要极限 56

习题1.7 59

1.8无穷小量的比较 60

习题1.8 62

1.9函数的连续性 63

1.9.1函数的连续性 63

1.9.2连续函数的运算法则 65

1.9.3初等函数的连续性 66

1.9.4函数的间断点 66

习题1.9 68

1.10闭区间上连续函数的性质 69

习题1.10 70

1.11用Mathematica进行函数运算 71

1.11.1 Mathematica中的数、运算符、变量与表达式 71

1.11.2常用函数 73

1.11.3自定义函数 74

1.11.4表 75

习题1.11 76

1.12用Mathematica求极限、函数的间断点 76

1.12.1函数求极限 76

1.12.2函数的间断点 78

习题1.12 79

第1章分层次测试题 80

数学欣赏 五个重要常数的关系 83

第2章 导数与微分 85

2.1导数概念 85

2.1.1导数概念的引入 85

2.1.2导数的定义 86

2.1.3求导函数举例 88

2.1.4导数的几何意义 89

2.1.5函数的可导性与连续性的关系 91

习题2.1 91

2.2求导法则 92

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 92

2.2.2复合函数的求导法则 94

2.2.3反函数的导数 96

2.2.4双曲函数与反双曲函数的导数 98

2.2.5初等函数的求导公式小结 98

习题2.2 99

2.3高阶导数 100

习题2.3 103

2.4隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 104

2.4.1隐函数的导数 104

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数 105

2.4.3求导举例 107

习题2.4 109

2.5微分 110

2.5.1微分的概念 110

2.5.2微分的几何意义 111

2.5.3微分的运算法则 112

习题2.5 113

2.6导数与微分的简单应用 114

2.6.1导数的应用 114

2.6.2微分在近似计算中的应用 117

2.6.3微分在误差估计中的应用 119

习题2.6 120

2.7用Mathematica进行导数运算 120

2.7.1初等函数求导数 120

2.7.2隐函数和由参数方程确定的函数求导数 122

习题2.7 123

第2章分层次测试题 124

数学欣赏 微积分成果优先权的争论 127

第3章 微分中值定理与导数的应用 129

3.1微分中值定理 129

3.1.1罗尔（Rolle）定理 129

3.1.2拉格朗日（Lagrange）中值定理 132

3.1.3柯西（Cauchy）中值定理 134

习题3.1 135

3.2洛必达（L’Hospital）法则 135

3.2.1 0/0型未定式 136

3.2.2 ∞/∞型未定式 137

3.2.3其他类型的未定式 138

习题3.2 140

3.3泰勒定理及其应用 141

3.3.1泰勒定理 141

3.3.2几个常用的麦克劳林公式 143

3.3.3泰勒公式的应用 146

习题3.3 148

3.4函数的单调性与极值 148

3.4.1函数单调性的判定 148

3.4.2函数的极值 151

3.4.3函数的最大值和最小值 155

习题3.4 157

3.5函数的凹凸性与拐点 158

3.5.1函数的凹凸性 158

3.5.2曲线的拐点 159

习题3.5 160

3.6函数图形的描绘 161

3.6.1曲线的渐近线 161

3.6.2依据函数特性作图 163

习题3.6 165

3.7导数在经济中的应用——边际分析与弹性分析 166

3.7.1边际与边际分析 166

3.7.2弹性与弹性分析 170

习题3.7 177

3.8方程的近似解 178

3.8.1二分法 178

3.8.2切线法 179

习题3.8 181

3.9用Mathematica做导数应用题 181

习题3.9 182

第3章分层次测试题 183

数学欣赏 法国大数学家——柯西、拉格朗日、罗尔 186

第4章 不定积分 188

4.1不定积分的概念与性质 188

4.1.1原函数与不定积分的概念 188

4.1.2不定积分的性质 190

4.1.3基本积分公式 191

习题4.1 192

4.2换元积分法 192

4.2.1第一类换元积分法 192

4.2.2第二类换元积分法 197

习题4.2 200

4.3分部积分法 202

习题4.3 205

4.4几种特殊类型函数的积分 206

4.4.1有理函数的积分 206

4.4.2三角函数有理式的积分 210

4.4.3简单无理函数的积分 212

4.4.4积分表的使用 212

习题4.4 213

数学欣赏 利玛窦与中西方数学文化的融合 215

第5章 定积分 217

5.1定积分的概念与性质 217

5.1.1定积分的实际背景 217

5.1.2定积分的概念 219

5.1.3定积分的几何意义 220

5.1.4定积分的基本性质 221

习题5.1 224

5.2微积分基本公式 224

5.2.1积分上限函数及其导数 225

5.2.2牛顿-莱布尼茨公式 227

习题5.2 228

5.3定积分的换元积分法 230

习题5.3 232

5.4定积分的分部积分法 232

习题5.4 234

5.5定积分的近似计算 235

5.5.1梯形法 235

5.5.2抛物线法 236

习题5.5 238

5.6广义积分 238

5.6.1无穷限广义积分 238

5.6.2无界函数的广义积分 240

5.6.3伽玛（Gamma）函数 242

习题5.6 243

5.7用Mathematica计算一元函数的积分 244

5.7.1定积分的近似计算 244

5.7.2不定积分与定积分的计算 245

习题5.7 245

数学欣赏 莱布尼茨与康熙大帝 246

第6章 定积分的应用 248

6.1定积分的微元法 248

6.2定积分的几何应用 249

6.2.1平面图形的面积 249

6.2.2体积 253

6.2.3平面曲线的弧长 255

习题6.2 257

6.3定积分的物理应用 259

6.3.1功 259

6.3.2液体对平面薄板的压力 260

6.3.3引力 261

习题63 262

6.4定积分在经济管理中的应用 263

6.4.1已知总产量的变化率求总产量 263

6.4.2已知边际函数求总量函数 263

习题6.4 265

6.5用Mathematica做定积分应用题 265

6.5.1求平面图形的面积 265

6.5.2求平面曲线的弧长 266

6.5.3求旋转体的体积 266

习题6.5 267

第4、5、6章分层次测试题 268

数学欣赏 中国科学院院士鼓励学生参与数学建模 272

第7章 空间解析几何与矢量代数 274

7.1空间直角坐标系与矢量的概念 274

7.1.1空间直角坐标系 274

7.1.2矢量的概念 276

习题7.1 278

7.2矢量的坐标 279

7.2.1矢量在轴上的投影 279

7.2.2矢径的坐标表示 280

7.2.3矢量→M1M2的坐标表示 280

7.2.4坐标表示下的矢量线性运算 280

7.2.5矢量的模与方向余弦的坐标表示 281

习题7.2 283

7.3矢量的数量积 矢量积混合积 283

7.3.1矢量的数量积 283

7.3.2矢量的矢量积 286

7.3.3矢量的混合积 288

习题7.3 289

7.4平面与直线 290

7.4.1平面 290

7.4.2空间直线 295

习题7.4 301

7.5曲面及其方程 302

7.5.1曲面及其方程 302

7.5.2旋转曲面 303

7.5.3柱面 305

7.5.4二次曲面 306

习题7.5 311

7.6空间曲线及其方程 312

7.6.1空间曲线 312

7.6.2空间曲线在坐标面上的投影曲线 314

习题7.6 315

7.7用Mathematica做三维图形及动画 315

7.7.1二元函数作图 315

7.7.2二次曲面的图形 316

7.7.3相交曲面作图 316

7.7.4动画制作 317

习题7.7 317

第7章分层次测试题 318

数学欣赏 几何学奇观——三种几何并存 321

附录A初等数学常用公式 323

附录B基本初等函数的图形及其主要性质 327

附录C二阶、三阶行列式简介 330

附录D极坐标、参数方程与复数简介 332

附录E几种常用的曲线 335

附录F符号计算系统Mathematica的常用系统函数 338

附录G积分表 349

部分习题参考答案 358