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第一部分 集合论 1

第一章 集合论的基本概念 3

1.1 集合的概念 3

1.2 集合的性质 5

1.3 集合论的恒等和势 10

1.4 子集 12

1.5 幂集 15

1.6 并和交 15

1.7 差和补 18

1.8 集合论的等式 21

练习 27

第二章 关系与函数 32

2.1 序偶与笛卡尔乘积 32

2.2 关系 34

2.3 函数 35

2.4 函数的复合运算 39

练习 42

第三章 关系的性质 44

3.1 自反性、对称性、传递性和连通性 44

3.2 关系图 50

3.3 逆和补的性质 51

3.4 等价关系与划分 52

3.5 序关系 55

练习 60

第四章 无限 63

4.1 等价集与势 63

4.2 集合的可列性 67

4.3 不可列集合 71

4.4 无限与无界 80

练习 82

附录A 数系统的集合论重构 86

A.1 自然数 86

A.2 扩展至全部整数的集合 89

A.3 扩展至全部有理数的集合 93

A.4 扩展至全部实数的集合 94

复习题 96

第二部分 逻辑和形式系统 99

第五章 逻辑和形式系统的基本概念 101

5.1 形式系统和模型 101

5.2 自然语言和形式语言 106

5.3 句法学和语义学 107

5.4 关于命题逻辑和谓词逻辑 109

第六章 命题逻辑 115

6.1 句法 115

6.2 语义学：真值和真值表 117

6.2.1 否定 118

6.2.2 合取 119

6.2.3 析取 121

6.2.4 条件 122

6.2.5 充要条件 124

6.3 永真式、永假式和可能式 126

6.4 逻辑等价、逻辑结论和逻辑定律 130

6.5 自然演绎 135

6.5.1 条件证明 142

6.5.2 间接证明 144

6.6 贝思表 146

练习 155

第七章 谓词逻辑 163

7.1 句法 163

7.2 语义 170

7.3 量词定律与前束范式 178

7.4 自然演绎 187

7.5 贝思表 202

7.6 形式化证明和非形式化证明 209

7.7 数学证明中的非形式化风格 211

练习 216

第八章 形式系统、公理化与模型理论 223

8.1 形式系统的句法方面 223

8.1.1 递归定义 223

8.2 公理系统和推导 228

8.2.1 扩展的公理系统 232

8.3 半图厄系统 237

8.4 皮亚诺公理与归纳证明 240

8.5 形式系统的语义方面：模型论 248

8.5.1 理论与模型 248

8.5.2 一致性、完备性和独立性 250

8.5.3 同构 253

8.5.4 一个初等的形式系统 255

8.5.5 关于定序关系的公理 258

8.5.6 关于符串联结的公理 265

8.5.7 皮亚诺公理的模型 268

8.5.8 集合论的公理化 270

8.6 公理化逻辑 273

8.6.1 命题逻辑的公理化 273

8.6.2 一致性和独立性证明 277

8.6.3 谓词逻辑的公理化 280

8.6.4 关于完备性证明 283

8.6.5 可判定性 285

8.6.6 哥德尔的不完备性定理 287

8.6.7 高阶逻辑 289

练习 293

附录B-Ⅰ 各种不同的逻辑符号与联结词 298

附录B-Ⅱ 克林的三值逻辑 300

复习题 304

第三部分 代数 307

第九章 代数的基本概念 309

9.1 代数的定义 309

9.2 运算的性质 311

9.3 特殊元素 312

9.4 映射和态射 314

练习 317

第十章 运算结构 318

10.1 群论 318

10.2 子群、半群和幺半群 325

10.3 整环 328

10.4 态射 334

练习 337

第十一章 格理论 342

11.1 偏序集、对偶性和图表 342

11.2 格、半格和子格 347

11.3 格中的态射 352

11.4 滤子和理想 355

11.5 有补格、分配格和模格 358

练习 364

第十二章 布尔代数和海廷代数 366

12.1 布尔代数 366

12.2 BA的模型 370

12.3 用集合表征BA 372

12.4 海廷代数 375

12.5 克里普克语义学 378

复习题 384

第四部分 作为形式语言的英语 389

第十三章 基本概念 391

13.1 组合性 392

13.1.1 命题逻辑的组合性解释 394

13.1.2 谓词逻辑的组合性解释 398

13.1.3 自然语言和组合性 412

13.2 兰姆达抽象 419

13.2.1 类型论 419

13.2.2 λ-抽象的句法和语义 422

13.2.3 一个样本片段 424

13.2.4 兰姆达演算 431

13.2.5 语言学应用 435

练习 457

第十四章 广义量词 462

14.1 限定词与量词 462

14.2 量词的条件 465

14.3 限定词与量词的特性 472

14.4 作为关系的限定词 491

14.5 语境与量化 496

练习 503

第十五章 内涵性 506

15.1 弗雷格的两个问题 506

15.2 不透明性的形式 515

15.3 索引与可及性关系 522

15.4 时态与时间 537

15.5 索引性 543

练习 545

第五部分 语言、语法与自动机 547

第十六章 基本概念 549

16.1 语言、语法与自动机 549

16.2 语法 554

16.3 树形图 557

16.3.1 支配 558

16.3.2 居先 560

16.3.3 标记 562

16.4 语法与树形图 566

16.5 乔姆斯基层级 571

16.6 语言与自动机 574

第十七章 有限自动机、正则语言与3型语法 577

17.1 有限自动机 577

17.1.1 有限自动机的状态图 580

17.1.2 确定的有限自动机的形式定义 580

17.1.3 不确定的有限自动机 584

17.1.4 不确定的有限自动机的形式定义 585

17.1.5 确定的有限自动机与不确定的有限自动机的等价 586

17.2 正则语言 588

17.2.1 有限自动机语言的泵定理 596

17.3 3型语法与有限自动机语言 599

17.3.1 正则语言的性质 603

17.3.2 用右线性语法描述自然语言的不充分性 607

练习 610

第十八章 后进先出自动机、上下文无关语法与上下文无关语言 616

18.1 后进先出自动机 616

18.2 上下文无关语法与上下文无关语言 622

18.3 上下文无关语言的泵定理 625

18.4 上下文无关语言的闭合性 629

18.5 上下文无关语言的可判定性问题 632

18.6 自然语言是上下文无关的吗？ 636

练习 641

第十九章 图灵机、递归可枚举语言与0型语法 643

19.1 图灵机 643

19.1.1 图灵机的形式定义 647

19.2 图灵机的等价阐述 652

19.3 无限制语法与图灵机 653

19.4 丘奇假说 657

19.5 递归集合与递归可枚举集合 658

19.6 通用图灵机 660

19.7 图灵机的停机问题 663

练习 668

第二十章 线性有界自动机、上下文有关语言及1型语法 671

20.1 线性有界自动机 671

20.1.1 线性有界自动机和上下文有关语法 672

20.2 上下文有关语法和递归集合 674

20.3 闭包和可判定性 676

练习 677

第二十一章 介于上下文无关语言和上下文有关语言之间的语言 678

21.1 索引语法 679

21.2 树邻接语法 686

21.3 中心语语法 692

21.4 范畴语法 694

第二十二章 转换语法 700

附录E-Ⅰ 乔姆斯基层级 705

附录E-Ⅱ 语义自动机 707

练习 714

复习题 715

部分习题答案 717

第一章 717

第二章 720

第三章 722

第四章 724

第一部分复习题 725

第六章 729

第七章 736

第八章 746

第二部分复习题 750

第九章 755

第十章 756

第十一章 762

第十二章 764

第三部分复习题 766

第十三章 773

第十四章 775

第十五章 780

第十七章 781

第十八章 788

第十九章 791

第二十章 793

附录E-Ⅱ 794

第五部分复习题 795

参考书目 797

英文索引 818

译名表 846