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第一部分 数与运算 1

一、整数 1

（一）基础知识 1

1．整数 1

（1）数与数字 1

数 1

数的分类 2

正整数 2

负整数 2

有理数 2

数字 2

中国数字 2

阿拉伯数字 2

罗马数字 3

罗马数字的记数原则 3

数与数字的区别 3

（2）计数与计数单位 4

计数 4

计数原则 4

计数单位 4

十进制计数法 5

二进制计数法 5

数字转换的一般方法 5

（3）数位与位数 6

数位 6

高位 7

低位 7

整数数位顺序表 7

数级 7

位数 8

多位数 8

（4）整数的读法与写法 8

整数的读法 8

整数的写法 9

整数的改写 10

准确数 10

近似数 11

四舍五入法 11

进一法 11

去尾法 12

2．自然数 13

自然数 13

自然数的起源 14

自然数的单位 14

自然数的性质 14

基数 15

序数 15

自然数的分类 15

自然数列 15

自然数列的性质 16

扩大的自然数列 16

3．零和1 16

零 16

零的意义 16

零的性质 16

零的知识 17

零因数 17

自然数1 17

单位1 17

4．各种符号与整数比的大小 18

等号 18

不等号 18

约等号 18

大于号 18

大于 18

大于号的性质 18

不大于号 18

小于号 18

小于 19

不小于号 19

恒等号 19

整数比大小的原则 19

（二）整数的四则运算 19

1．运算基础知识 19

运算 19

计算 20

式子 20

算式 20

横式 20

算法 20

演算 20

算草 20

竖式 20

等式 20

脱式 20

逆运算 21

笔算 21

速算 21

估算 21

口算 22

视算 22

听算 22

珠算 22

简算 22

验算 22

复算 23

运算符号 23

运算顺序符号 23

小括号 23

中括号 23

大括号 23

2．整数加法 24

（1）基本定义定理 24

加法 24

加法的补充定义 24

加法的运算符号 24

加数 24

和 24

（2）整数加法的计算法则 25

计算法则 25

加法的计算法则 25

进位加法 25

加减法计算法则的依据 25

（3）整数加法的运算定律 26

运算定律 26

加法的运算定律 26

加法交换律 26

加法结合律 26

加法的运算性质 26

和的变化规律 27

加法的验算 27

加法的估算 28

10以内的加法 28

10以内加法表 28

20以内进位加法表 29

凑十加 29

连加法 30

连加法笔算 30

不进位加法 31

不连续进位加法 31

连续进位加法 31

3．整数减法 32

减法 32

被减数和减数 32

差 32

差的性质 33

差的变化规律 33

退位 34

不退位减法 34

退位减法 34

不连续退位减法 34

连减法 34

减法的计算法则 35

减法计算法则的依据 35

减法的运算性质 35

减法的验算 37

减法的估算 37

加、减法各部分之间的关系 38

减法的特殊情况 38

10以内的减法 39

10以内减法表 39

20以内退位减法表 39

用10减 40

用加算减 40

4．整数乘法 41

（1）基本概念 41

乘法 41

因数 41

积 41

乘法的读法 42

乘法的补充定义 42

乘法和加法的关系 42

连乘 43

部分积 43

积的位数 43

积的变化规律 44

乘方 44

平方 45

立方 45

倍 45

倍数 45

几倍数 45

乘法表 46

乘法口诀 46

小九九 46

大九九 46

2～6的乘法口诀 46

7的乘法口诀 47

8的乘法口诀 48

表内乘法 48

（2）乘法的运算法则与运算性质 48

乘法的运算法则 48

乘法的运算定律 49

乘法交换律 49

乘法结合律 49

乘法分配律 50

乘法的运算性质 50

乘法的验算 50

乘法的估算 51

一位数乘两位数口算 51

一位数乘多位数法则 51

0和一位数相乘 51

中间有0的乘法 52

末尾有0的乘法 52

一位数的乘法 52

多位数的乘法 53

5．整数除法 53

（1）基本概念 53

除法 53

被除数 53

除数 54

商 54

除以 54

除 54

除法和乘法的关系 54

除法和减法的关系 54

短除法 55

连除 55

等分除 55

包含除 56

表内除法 56

有余数的除法 56

准确商 57

不完全商 57

商的性质 57

商不变 58

试商 58

试商的方法 58

商的位数 59

商的变化规律 59

（2）除法的计算法则与运算性质 60

除法的计算法则 60

除数是一位数的除法 61

除数是两位数的除法 61

除数是两位数的除法法则 61

商中间或末尾有0的除法 62

除法的运算性质 63

有余数除法的性质 64

除法的特殊情况 64

除法的验算 65

有余数除法的验算 66

除法的估算 66

乘除法的运算性质 67

（三）整数的四则混合运算及简算 68

四则混合运算 68

三级运算 68

第一级运算 68

第二级运算 69

逆运算 69

四则混合运算顺序 69

同级运算的运算顺序 70

加减混合运算性质 71

乘除混合运算性质 71

四则运算的验算方法 72

有关0的四则计算 72

速算 72

加法的速算 73

减法的速算 73

乘法的速算 74

简便计算 75

简便计算的基本思路 75

除法的简算方法 76

（四）数的整除 76

1．基础知识 76

整除 76

除尽 77

整除与除尽的关系 77

除不尽 77

整除的性质 78

2．因数和倍数 78

因数和倍数 78

倍和倍数 79

一个数的倍数 79

公倍数 79

最小公倍数 80

求最小公倍数的方法 80

求最大公因数和最小公倍数的两种特殊情况 81

最小公倍数的性质 81

一个数的因数 81

公因数 82

最大公因数 82

求最大公因数的方法 82

辗转相除法 83

最大公因数的性质 83

3．质数和合数 84

质数和合数 84

质数的个数 84

互质数 84

互质 85

两两互质 85

质因数 85

分解质因数 85

奇数和偶数 86

奇数的性质 86

偶数的性质 87

4．数的整除特征 87

能被2或5整除的数的特征 87

能被4或25整除的数的特征 87

能被8或125整除的数的特征 88

能被3或9整除的数的特征 88

能被11整除的数的特征 88

能被7,11,13整除的数具有的共同特征 88

二、小数 89

（一）小数 89

1．小数的认识 89

小数 89

小数各部分名称 89

小数点 90

小数的数位 90

十分位 90

百分位 91

千分位 91

小数的计数单位 91

小数的位数 91

小数的读法 92

小数的写法 92

小数的基本性质 93

小数点位置的移动引起小数大小的变化 93

小数大小的比较 94

小数与单名数 94

小数与复名数 95

单名数和复名数的辨析 95

2．小数的分类 95

纯小数 95

带小数 95

有限小数 96

无限小数 96

循环小数 96

循环节 96

纯循环小数 96

混循环小数 96

循环小数的性质 96

无限不循环小数 97

截取循环小数的近似值 97

小数的近似数 97

精确度 97

有效数字 98

有限小数、无限小数、循环小数、纯循环小数、混循环小数、无限不循环小数之间的关系 98

3．小数与分数的互化 99

有限小数化分数 99

带小数化分数 99

分数化小数 99

分数能否化成有限小数的辨别方法 100

（二）小数四则运算 101

1．小数加法 101

小数加法 101

小数加法的法则 101

2．小数减法 102

小数减法 102

小数减法的法则 102

3．小数乘法 103

小数乘法意义 103

小数乘法的法则 103

小数乘整数 104

整数乘小数 105

小数乘小数 105

小数的连乘 106

整数乘法的运算定律适用于小数乘法 106

4．小数除法 107

小数除法 107

小数除法的法则 108

除数是整数的小数除法 109

除数是小数的除法 110

商的近似值 111

四舍五入法 112

进一法 112

去尾法 113

5．小数四则混合运算 114

小数四则混合运算顺序 114

三、分数与百分数 115

（一）分数 115

1．分数的认识 115

分数的概念 115

分数各部分名称 115

分数的补充定义 116

单位“1” 116

分数的产生 117

分母 117

分子 117

分数线 118

分数的计数单位 118

分数的读法 118

分数的写法 119

零分数 119

分数大小的比较 119

分数的基本性质 120

分数的分子变化引起分数大小的变化 121

分数的分母变化引起分数大小的变化 122

分数与除法的关系 122

约分 123

约分的方法 123

最简分数 124

通分 124

同分母分数 125

异分母分数 125

公分母 125

最小公分母 125

通分的方法 125

通分子 126

2．分数的种类 126

分数的分类 126

真分数 127

假分数 127

带分数 127

3．数的互化 127

假分数化成整数或带分数的方法 127

带分数化成假分数的方法 127

整数化成假分数的方法 128

分数化小数 128

小数化分数 128

判断一个最简分数能否化成有限小数的方法 129

分数和小数大小的比较 129

比较分数大小的特殊方法 130

（二）分数的四则运算 132

1．分数加法 132

分数加法 132

分数加法的法则 132

分数加法的运算定律 133

分数加法的速算 133

2．分数减法 135

分数减法 135

整数减带分数 136

带分数减整数 137

分数减法的速算 137

3．分数、小数加减混合运算 138

分数加减混合运算的顺序 138

分数、小数加减混合运算 139

4．分数乘法 139

分数乘法 139

分数乘法的意义 139

分数乘法的法则 140

分数乘法的运算定律 140

倒数 141

求倒数的方法 142

分数乘法的速算 143

5．分数除法 143

分数除法 143

分数除法的计算法则 143

分数除法的运算性质 144

6．分数四则混合运算 146

分数四则混合运算 146

分数、小数乘法混合运算 146

分数、小数除法混合运算 147

分数、小数四则混合运算的方法 147

（三）百分数 148

1．基础知识 148

百分数 148

百分号 148

百分数的计数单位 148

百分数和分数、小数的联系 148

百分数的读法 149

百分数的写法 149

百分率 149

百分比 149

千分数 149

2．百分数与分数、小数的互化 149

分数化百分数 149

小数化百分数 149

百分数化小数 150

百分数化分数 150

3．常用百分率 150

发芽率 150

出勤率 150

成活率 151

合格率 151

出生率 152

死亡率 152

及格率 152

增长率 153

提高率 153

入学率 153

巩固率 154

出油率 154

出米率 154

出粉率 154

出糖率 154

命中率 154

成数 155

定价 155

折扣 155

本金 155

利息 155

利率 155

利息的计算 155

税率 155

税款 156

利润 156

卖出价、成本与利润的百分数的关系 156

溶液浓度 156

第二部分一、量 157

量 157

不连续的量与连续的量 157

不连续量与连续量的辨析 158

二、计量 158

（一）计量与计量方法 158

计量 158

量数 158

量与计量 159

计量方法 159

度量衡 159

（二）计量单位 159

1．基础知识 159

计量单位 159

单位名称 159

基本单位 159

导出单位 159

主单位与辅助单位 159

国际单位制 159

公制 160

市制 160

英制 160

计量器具 160

2．单位间的进制与换算 161

（1）基础知识 161

高级单位 161

低级单位 161

十进 161

百进 161

千进 161

六十进 162

互化 162

名数 162

不名数 162

单名数 162

复名数 162

同名数 162

异名数 162

（2）单位换算 162

换算 162

进率 162

名数的改写 163

化法 163

聚法 164

化法和聚法的辨析 164

3．常用的计量单位与计量方法 164

（1）时间 164

时间 164

时刻 164

时间与时刻的区别 164

时间单位 165

时辰 165

北京时 165

地方时 165

世界时 165

夏令时 166

历法 166

阳历 166

阴历 166

阴阳历 166

公元 167

世纪 167

年代 167

正月 167

元月 167

年 167

闰年 167

判断平年、闰年的方法 168

闰月 168

闰日 168

平年 168

季度 168

月 169

旬 169

上旬 169

中旬 169

下旬 169

星期 169

二十四时计时法 169

日历 169

日 169

时 169

分 170

秒 170

（2）长度 170

长度 170

长度单位 170

千米 170

米 170

分米 170

厘米 170

毫米 171

微米 171

纳米 171

尺 171

里 171

丈 171

寸 171

码 172

海里 172

光年 172

长度测量方法 172

（3）面积和体积 173

面积 173

面积单位 173

平方千米 174

公顷 174

公亩 174

平方米 174

平方分米 174

平方厘米 174

平方丈 174

平方尺 174

平方寸 174

体积 175

体积单位 175

立方米 175

立方分米 175

立方厘米 175

立方丈 175

立方尺 175

立方寸 175

土石方 176

长度、面积、体积单位进率表 176

（4）容积 176

容积 176

容积单位 176

升 176

毫升 176

石 176

斗 177

加仑 177

（5）质量 177

质量 177

质量单位 177

千克 177

克 177

吨 177

毫克 177

担 177

斤 178

两 178

钱 178

磅 178

克拉 178

（6）货币 178

货币 178

人民币 178

元、角、分 178

美元 178

英镑 179

法郎 179

日元 179

马克 179

卢布 179

欧元 179

（7）角度 179

角度 179

角度单位 179

（8）密度 179

密度 179

第三部分 比与比例一、比 180

（一）比的认识 180

比 180

比号 181

比的前项、后项 181

比值 181

比和比值的联系与区别 182

比的各部分之间的关系 182

比的基本性质 183

比和除法、分数的联系与区别 183

分数、比、小数、商不变性质的区别 184

（二）各种数的比 184

1．整数比 184

整数比 184

最简的整数比 185

2．分数比与小数比 185

分数比 185

小数比 185

3．连比 186

连比 186

连比的性质 186

连比和比的关系 186

（三）比的化简 186

比的化简 186

求比值与化简比的区别 187

求比的未知项 187

二、比例 188

（一）基础知识 188

比例 188

比例的内项和外项 188

比例中项 188

比例的基本性质 188

比例定理 189

比和比例的辨析 190

（二）比例与解比例 190

1．解比例 190

解比例 190

按比例分配 191

2．正比例 193

两种相关联的量 193

正比例的意义 193

正比例关系 193

成正比例的量的判断方法 194

正比例的性质 194

正比例应用题 195

3．反比例 195

反比例的意义 195

反比例关系 196

成反比例的量的判断方法 196

反比例的性质 196

反比例应用题 197

正比例、反比例的比较 199

反比、反比例、反比例关系的辨析 199

不成比例的量 199

（三）比例尺 199

比例尺 199

分数比例尺 200

线段比例尺 200

缩小比例尺 200

放大比例尺 201

缩小比例尺和放大比例尺的辨析 201

比例尺的应用 201

第四部分 代数初步知识一、用字母表示数 203

代数 203

用字母表示数 203

用字母表示数的意义 204

书写含有字母的式子的规则 205

二、代数式 205

代数式 205

代数式的值 206

等式 206

等式的性质 206

代数式和等式的辨析 206

整式 206

有理式 206

分式 206

单项式 207

多项式 207

升幂排列 207

降幂排列 207

同类项 207

乘方和开方 207

科学记数法 208

解析式 208

恒等式 208

恒等变形 208

条件等式 208

移项 208

不等式 208

三、方程 208

（一）方程的基本知识 208

未知数 208

方程 209

方程的基本性质 209

方程的解 209

检验方程的解的方法 209

方程与等式的关系 210

（二）解方程 210

1．解方程 210

解方程 210

方程的解和解方程的区别 212

简易方程 212

简易方程的解法 213

2．列方程解应用题 213

列方程解应用题 213

方程的元和次 213

设未知数 214

设未知数的方法 214

列方程 215

列方程解应用题的一般步骤 215

建立等量关系的常用方法 216

列方程解应用题的分析方法 218

用列方程解应用题与用算术方法解应用题的区别 220

第五部分 空间与图形一、几何基础知识 221

（一）几何学 221

几何学 221

几何学的产生与发展 222

平面几何学 222

立体几何学 223

（二）几何图形 223

几何图形 223

五线 223

距离 223

两点间的距离 223

点到直线的距离 223

1．点 224

点 224

2．线 224

线 224

（1）直线 224

直线 224

直线的性质 224

直线表示法 224

曲线 225

（2）射线 225

射线 225

射线表示法 225

（3）线段 226

线段 226

线段表示法 226

线段的性质 226

线段的度量 226

两点间的距离 226

直线、射线、线段的辨析 227

（4）折线 227

折线 227

封闭折线 227

（5）直线的相交 228

相交直线 228

垂直 228

垂直的表示法 228

垂线 229

垂线性质 229

垂线的画法 229

斜线 230

斜足 231

（6）直线的平行 231

平行线 231

平行线的性质 231

平行线的画法 232

平行公理 233

平行线间的距离 233

公垂线 233

公垂线长 234

垂线与平行线关系图 234

3．面 234

面 234

4．体 235

体 235

二、平面图形 235

平面图形 235

（一）角 235

角 235

角的表示法 236

角的顶点 237

角的边 237

角的大小 237

角的度量 237

角度制 237

量角器 238

平角 239

周角 239

直角 239

锐角 240

钝角 240

余角 240

补角 240

邻角 240

邻补角 241

对顶角 242

角平分线 242

（二）三角形 242

1．三角形的认识 242

三角形 242

三角形的基本元素 243

三角形的元素 243

三角形边与边的关系 243

三角形的边角关系 244

三角形的底和高 244

三角形的内角和 245

三角形的中线 245

三角形的角平分线 246

三角形的中位线 247

三角形的垂心 247

三角形的重心 247

三角形的外心 247

三角形的内心 248

勾股定理 248

三角形的稳定性 250

2．三角形的种类 251

三角形的分类 251

锐角三角形 251

直角三角形 251

钝角三角形 252

斜三角形 252

不等边三角形 252

等腰三角形 252

等边三角形 253

等腰三角形和等边三角形的辨析 253

等腰直角三角形 254

3．三角形的周长和面积 254

周长 254

三角形的周长 254

面积 255

三角形的面积 255

（三）四边形 256

1．四边形的认识 256

四边形 256

对边 256

邻边 256

对角 256

邻角 256

对角线 256

2．平行四边形 256

平行四边形 256

平行四边形的表示法 257

平行四边形的对角线 257

平行四边形的底和高 257

平行四边形的性质 258

平行四边形的面积 258

3．长方形 258

长方形 258

矩形 259

长方形的性质 259

长方形的长和宽 259

长方形的周长 260

长方形的面积 260

4．菱形 260

菱形 260

菱形的性质 261

菱形的面积 261

5．正方形 261

正方形 261

正方形的性质 262

正方形的周长 262

正方形的面积 263

6．梯形 263

梯形 263

梯形的性质 263

梯形的底角 263

梯形的高 264

梯形的中位线 264

梯形中位线的性质 264

等腰梯形 265

等腰梯形的性质 266

直角梯形 266

梯形的面积 266

各种四边形的关系 267

（四）多边形 268

多边形 268

多边形的内角和 269

正多边形 270

多边形的周长 270

多边形的面积 270

（五）圆 270

1．圆的认识 270

圆 270

圆心 271

圆的表示法 272

半径 272

直径 272

弦 272

弧 273

半圆 273

等圆 273

同心圆 273

圆心角 274

圆周角 274

圆周率 275

2．圆的周长和面积 275

圆的周长 275

圆的面积 276

3．圆环 278

圆环 278

圆环的面积 278

4．扇形 278

扇形 278

扇形的面积 279

5．圆与点、线和平面图形的关系 280

（1）圆与点的位置关系 280

点和圆的位置关系 280

（2）圆与直线的位置关系 280

圆的切线和切点 280

（3）圆与圆的位置关系 281

两圆外离 281

两圆外切 281

切点 282

两圆相交 282

两圆内切 282

两圆内含 283

（六）其他图形 284

组合图形 284

组合图形的面积 285

轴对称图形 287

中心对称图形 288

割补法 289

分割法 290

平面 290

截面 290

三、立体图形 290

（一）基础知识 290

立体图形 290

立体图形的分类 291

平面立体图形 291

曲面立体图形 291

立体几何学 291

侧面积 291

底面积 291

表面积 292

体积 292

容积 292

（二）长方体和正方体 292

1．长方体 292

长方体 292

长方体的特征 293

长方体的棱长之和 293

长方体的表面积 293

长方体的体积 294

2．正方体 294

正方体 294

正方体的特征 295

正方体的棱长之和 295

正方体的表面积 295

正方体的体积 295

（三）圆柱、圆锥和圆台 296

1．圆柱 296

圆柱 296

圆柱的特征 296

圆柱的侧面积 297

圆柱的表面积 298

圆柱的体积 298

2．圆锥 299

圆锥 299

圆锥的高 300

圆锥的体积 300

（四）其他 301

方 301

土石方的计算 301

组合体的体积 301

四、观察物体 303

观察物体 303

方向和路线 303

平移和旋转 305

放大和缩小 306

七巧板 307

测量 307

目测 308

第六部分 统计图表与概率一、统计 309

（一）基础知识 309

统计学 309

统计学的研究过程 310

统计 310

总体 311

总体的特征 311

个体 311

样本 311

样本容量 311

统计量 311

参数 311

统计量与参数的区别与联系 312

（二）统计数据 312

全面调查 312

部分调查 312

数据 312

原始数据 312

数据类型 312

随机抽样 313

规律性抽样 313

分层抽样 313

阶段性随机抽样 314

数据分组 314

（三）统计表和统计图 315

1．统计表的种类与制作 315

图表 315

统计表 315

统计表的结构 315

统计表的制作步骤 315

统计表的类型 316

单式统计表 316

复式统计表 316

2．统计图的种类与制作 317

统计图 317

统计图的作用 317

统计图的种类 317

（1）条形统计图 317

条形统计图 317

条形统计图的特点 317

条形统计图的分类 317

条形统计图的制作步骤 317

单式条形统计图 318

复式条形统计图 318

（2）折线统计图 319

折线统计图 319

折线统计图的特点 319

折线统计图的分类 319

折线统计图的制作步骤 319

单式折线图 320

复式折线图 320

（3）扇形统计图 321

扇形统计图 321

扇形统计图的特点 321

扇形统计图的制作步骤 321

（4）其他统计图 322

其他统计图 322

3．常用的统计量 322

平均数 322

总体平均数 323

样本平均数 323

中位数 324

众数 324

平均数、中位数和众数辨析 324

二、概率 324

事件 324

必然事件 324

不可能事件 324

确定性事件 325

随机事件 325

概率 325

第七部分 解决问题一、应用题 326

1．基础知识 326

应用题 326

应用题的已知条件和问题 326

应用题的直接条件和间接条件 327

直接条件 327

间接条件 327

2．应用题的常用术语 328

同样多 328

多、少 328

增加、增加了、增加到 328

减少、减少了、减少到 328

增加几倍 329

扩大 329

缩小 329

3．应用题中常见的数量关系 330

部分数与总数的关系 330

大数、小数与相差数的关系 330

倍数关系 330

每份数、份数与总数的关系 330

单价、数量与总价的关系 331

单产量、总面积与总产量的关系 331

工效、工作时间与工作总量的关系 331

速度、时间与路程的关系 331

二、应用题的种类 331

（一）简单应用题 331

看图列算式 331

图画应用题 332

表格应用题 333

求和应用题 334

求剩余应用题 335

求较大数应用题 335

求较小数应用题 336

求差应用题 336

求总数应用题 337

求份数应用题 337

求每份数应用题 337

求几倍数应用题 338

求倍数应用题 338

求一倍数应用题 339

乘法应用题 339

除法应用题 339

乘法和加法应用题对比 340

除法和减法应用题对比 340

乘法和除法应用题对比 341

两步解答应用题 341

扩题 341

缩题 342

拆题 343

并题 343

（二）典型应用题 343

还原问题 343

盈亏问题 344

和差问题 345

和倍问题 345

差倍问题 347

归总问题 348

归一问题 348

平均数应用题 349

工程问题 350

相遇问题 350

追及问题 351

植树问题 351

线上植树问题 352

面上植树问题 353

流水行船问题 354

过桥问题 355

连续数问题 355

置换问题 356

时钟问题 357

（三）其他类型应用题 358

比例尺应用题 358

公倍数、公约数问题 360

求一个数是另一个数的百分之几 361

百分数乘、除法应用题 362

已知一个数，求它的百分之几的应用题 362

已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数的应用题 363

求边长、周长应用题 364

求面积、地积应用题 364

求体积、容积应用题 365

（四）应用题常用的解题思路及方法 366

1．简单应用题的解题思路 366

2．复合应用题的一般解题思路 366

综合法 366

分析法 367

综合法与分析法的关系 368

假设法 368

转化法 369

比较法 369

对应法 370

列举法 370

列表法 371

用算术方法解应用题 371

列方程解应用题 372

解答应用题的一般方法 372

附录 374