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第1章 函数、极限与连续 1

1.1函数 1

1.1.1函数概念 1

1.1.2函数的表示法 2

1.1.3反函数 2

1.1.4函数的几种特性 3

1.1.5基本初等函数 5

1.1.6复合函数、初等函数 5

习题1.1 6

1.2极限 7

1.2.1数列的极限 7

1.2.2函数的极限 8

习题1.2 10

1.3极限的运算 10

1.3.1极限的四则运算法则 10

1.3.2两个重要极限 13

习题1.3 14

1.4无穷小与无穷大 15

1.4.1无穷小 15

1.4.2无穷大 16

1.4.3无穷小的比较 17

习题1.4 19

1.5函数的连续性 20

1.5.1函数连续性的定义 20

1.5.2闭区间上连续函数的性质 21

习题1.5 23

第2章 导数与微分 24

2.1导数的概念 24

2.1.1两个实例 24

2.1.2导数的定义 25

2.1.3导数公式 25

2.1.4导数的几何意义 26

2.1.5可导与连续的关系 27

习题2.1 27

2.2导数的运算 28

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 28

2.2.2反函数的求导法则 29

2.2.3复合函数求导法则 30

2.2.4基本初等函数的求导法则与导数公式 31

习题2.2 32

2.3高阶导数 33

2.3.1高阶导数的定义 33

习题2.3 34

2.4隐函数与由参数方程所确定的函数的导数 34

2.4.1隐函数的导数 34

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数 36

习题2.4 37

2.5函数的微分 37

2.5.1微分的概念 38

2.5.2微分的基本公式 38

2.5.3微分的运算法则 39

习题2.5 40

第3章 导数的应用 41

3.1微分中值定理 41

3.1.1费马引理 41

3.1.2罗尔定理 42

3.1.3拉格朗日定理 42

3.1.4柯西中值定理 44

习题3.1 45

3.2洛必达法则 46

3.2.1 0/0型不定式的极限 46

3.2.2∞/∞型不定式的极限 47

3.2.3可化为0/0型或∞/∞型的极限 49

习题3.2 51

3.3泰勒公式 51

习题3.3 54

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性、渐近线 54

3.4.1函数的单调性 54

3.4.2曲线的凹凸性和拐点 56

习题3.4 58

3.5函数极值与最值问题 59

3.5.1函数的极值 59

3.5.2函数的最大值和最小值 63

习题3.5 64

第4章 不定积分 66

4.1不定积分的概念与性质 66

4.1.1原函数与不定积分的概念 66

4.1.2不定积分的性质 68

4.1.3基本积分公式 69

习题4.1 69

4.2不定积分的计算 70

4.2.1直接积分法 70

4.2.2换元积分法 72

4.2.3分部积分法 79

习题4.2 82

第5章 定积分及其应用 84

5.1定积分的概念和性质 84

5.1.1引例 84

5.1.2定积分的概念 86

习题5.1 89

5.2微积分基本公式 90

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 90

5.2.2积分上限的函数及其导数 90

5.2.3（微积分基本定理）牛顿莱布尼茨公式 91

习题5.2 93

5.3定积分的计算方法 93

5.3.1定积分的换元积分法 94

5.3.2定积分的分部积分法 96

习题5.3 97

5.4广义积分 97

5.4.1无限区间上的广义积分 97

5.4.2无界函数的广义积分 99

习题5.4 100

5.5定积分的几何应用 100

5.5.1元素法 100

5.5.2平面图形的面积 102

5.5.3旋转体的体积 104

习题5.5 106

第6章 常微分方程 107

6.1微分方程的基本概念 107

6.1.1引例 107

6.1.2微分方程的概念 108

习题6.1 109

6.2一阶微分方程 110

6.2.1可分离变量的微分方程 110

6.2.2齐次微分方程 111

6.2.3一阶线性微分方程 112

习题6.2 113

6.3高阶线性微分方程及其通解结构 113

6.3.1二阶线性齐次微分方程的解法 114

6.3.2二阶线性非齐次微分方程的解法 116

6.3.3 n阶齐次线性微分方程的通解的结构 118

习题6.3 119

第7章 无穷级数 120

7.1常数项级数的概念和性质 120

7.1.1常数项级数的概念 120

7.1.2常数项级数的基本性质 123

7.1.3常数项级数收敛性判别法 124

习题7.1 128

7.2幂级数 129

7.2.1幂级数的概念 129

习题7.2 134

7.3函数展开成幂级数 134

7.3.1泰勒公式和泰勒级数 134

7.3.2某些初等函数的幂级数展开式 135

习题7.3 140

第8章 空间解析几何和向量代数 141

8.1空间直角坐标系 141

8.1.1空间直角坐标系 141

8.1.2空间两点间的距离 143

习题8.1 143

8.2向量的概念及其线性运算 144

8.2.1向量的概念 144

8.2.2向量的线性运算 144

习题8.2 146

8.3向量的代数表示 146

8.3.1向量的坐标表示式 146

8.3.2向量在轴上的投影 147

8.3.3向量线性运算的代数表示 148

8.3.4向量的模与方向余弦的代数表示 149

习题8.3 150

8.4数量积、向量积 150

8.4.1两向量的数量积 150

8.4.2两向量的向量积 152

习题8.4 154

8.5曲面及其方程 154

8.5.1曲面方程的概念 155

8.5.2空间曲线的一般方程 156

8.5.3母线平行于坐标轴的柱面方程 156

8.5.4以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 157

8.5.5空间曲线在坐标面上的投影 158

习题8.5 159

8.6平面及其方程 160

8.6.1平面的点法式方程 160

8.6.2平面的一般式方程 161

8.6.3平面的截距式方程 162

8.6.4两平面间的夹角 162

习题8.6 163

8.7空间直线及其方程 163

8.7.1直线的点向式 163

8.7.2空间直线的一般方程 164

8.7.3空间直线的参数方程 165

8.7.4两直线间的关系 165

8.7.5直线与平面的夹角 166

习题8.7 167

8.8常见的二次曲面 168

习题8.8 171

第9章 多元函数微分学 172

9.1二元函数的极限和连续 172

9.1.1多元函数的概念 172

9.1.2二元函数的极限 173

9.1.3二元函数的连续性 174

习题9.1 175

9.2偏导数 175

9.2.1偏导数的概念 175

9.2.2高阶偏导数 177

习题9.2 178

9.3全微分 178

9.3.1全微分的概念 178

9.3.2全微分在近似计算中的应用 179

习题9.3 180

9.4多元复合函数求导法则 180

习题9.4 183

9.5隐函数微分法 184

9.5.1由方程F（x，y）=0所确定y的隐函数的求导公式 184

9.5.2由方程F（x，y，z）=0所确定x， y的隐函数z的偏导公式 185

习题9.5 187

9.6多元函数微分法在几何上的应用 187

9.6.1空间曲线的切线与法平面 187

9.6.2曲面的切平面与法线 189

习题9.6 191

9.7多元函数的极值及其应用 191

9.7.1极值的概念 191

9.7.2极值的判定 192

习题9.7 193

第10章 多元函数积分学 194

10.1二重积分的概念与性质 194

10.1.1二重积分的概念 194

10.1.2二重积分的性质 196

习题10.1 197

10.2二重积分的计算 197

10.2.1直角坐标系下二重积分的计算 197

10.2.2极坐标系下二重积分的计算 200

10.2.3二重积分的应用 202

习题10.2 205

10.3三重积分的计算 206

10.3.1三重积分的概念 206

10.3.2三重积分的计算 207

习题10.3 209

10.4曲线积分 209

10.4.1对弧长的曲线积分 209

10.4.2对坐标的曲线积分 212

习题10.4 214

附录A二阶、三阶行列式简介 215

附录B基本积分表 218

附录C常见的曲线 227

附录D三角函数关系式 231

习题参考答案 233