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第1章 行列式与线性方程组 1

1.1基础知识——线性方程组与行列式定义 1

1.1.1二元线性方程组与二阶行列式 1

1.1.2三元线性方程组与三阶行列式 2

1.1.3 n阶行列式定义 3

1.2软件实现——Mathematica中行列式的计算 5

1.2.1数据表的输入方法 5

1.2.2行列式的计算 6

1.3价值体现——应用实例 7

1.3.1行列式在n元线性方程组求解中的应用 7

1.3.2行列式的几何应用 9

1.4解因析理——行列式的性质与计算 10

1.4.1几种特殊行列式的计算 10

1.4.2行列式的性质 12

1.4.3 n阶行列式的计算 15

1.5拓展提高——行列式计算技巧 17

习题1 22

第2章 矩阵与线性方程组 26

2.1基础知识——矩阵、矩阵的初等变换及线性方程组求解 27

2.1.1矩阵的概念 28

2.1.2几种特殊矩阵 30

2.1.3矩阵的初等变换与等价标准形 31

2.1.4矩阵的秩 36

2.1.5线性方程组解的判定 37

2.2软件实现——Mathematica中矩阵的形成与线性方程组求解 37

2.2.1矩阵的输入与输出 37

2.2.2几个特殊矩阵的生成 39

2.2.3矩阵的简化 41

2.2.4线性方程组的求解 42

2.3价值体现——应用实例 43

2.4解因析理——矩阵的秩与线性方程组求解 45

2.4.1矩阵秩的性质 45

2.4.2线性方程组求解过程分析 47

2.5拓展提高——解题技巧解析 50

2.5.1矩阵秩的求法 50

2.5.2含有参数的线性方程组的解的讨论 51

习题2 53

第3章 矩阵的运算 56

3.1基础知识——矩阵的运算 57

3.1.1矩阵的线性运算 57

3.1.2矩阵的乘法 58

3.1.3矩阵的转置 60

3.1.4矩阵的逆 60

3.1.5矩阵的分块 62

3.2软件实现——Mathematica中矩阵的运算 66

3.2.1基本运算 66

3.2.2方阵的运算 68

3.3价值体现——矩阵运算应用实例 69

3.4解因析理——矩阵运算性质及应用 71

3.4.1矩阵运算的一般运算律 72

3.4.2逆矩阵的性质和求法 74

3.4.3初等矩阵及初等矩阵的作用 77

3.5拓展提高——矩阵运算应用技巧分析 81

3.5.1方阵的相关运算 81

3.5.2逆矩阵的计算 83

3.5.3矩阵方程求解 85

3.5.4伴随矩阵的相关计算 87

习题3 89

第4章 向量与线性方程组 92

4.1基础知识——向量运算、向量空间及线性方程组求解 93

4.1.1向量的运算 93

4.1.2同维向量之间的关系 95

4.1.3向量空间 97

4.1.4规范正交基 101

4.1.5线性方程组解的结构 104

4.2软件实现——Mathematica中向量运算及线性方程组的求解 106

4.2.1向量运算 106

4.2.2向量组线性相关性的判定 107

4.2.3向量组的最大无关组与秩 108

4.2.4向量组的正交规范化 109

4.2.5线性方程组的通解 109

4.3价值体现——应用实例 111

4.3.1向量及向量组的应用实例 111

4.3.2向量组的线性相关性的应用实例 112

4.3.3向量组线性相关和线性无关的几何意义 113

4.3.4向量组的最大无关组的应用实例 115

4.3.5线性方程组的应用实例 115

4.4解因析理——向量组的线性相关性 116

4.4.1向量组线性相关与线性无关的判定及性质 116

4.4.2矩阵的秩与向量组的秩 121

4.4.3线性方程组的求解 123

4.5拓展提高——向量组的线性关系综合题解析 129

4.5.1向量组的秩与向量组间线性表示的关系 129

4.5.2抽象线性方程组的求解 133

4.5.3已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数 135

习题4 135

第5章 特征值、特征向量及矩阵的相似对角化 140

5.1基础知识——方阵的特征值、特征向量与对角化问题 142

5.1.1特征值与特征向量的概念 142

5.1.2矩阵的相似对角化 144

5.2软件实现——Mathematica中特征值、特征向量的计算 146

5.3价值体现——特征值、特征向量应用实例 147

5.4解因析理——特征值、特征向量及相似矩阵的性质 153

5.4.1特征值、特征向量的计算 153

5.4.2特征值、特征向量的性质 156

5.4.3相似矩阵的性质 159

5.4.4方阵相似对角化的判定 160

5.5拓展提高——典型题解析 162

5.5.1特征值、特征向量的逆问题的求解 162

5.5.2矩阵相似的判定及其逆问题 163

5.5.3相似矩阵的应用 164

习题5 166

第6章 对称矩阵与二次型 170

6.1基础知识——二次型及其标准形 170

6.1.1二次型的概念 170

6.1.2二次型的变量代换 172

6.1.3化二次型为标准形 174

6.2软件实现——Mathematica中二次型的化简 175

6.3价值体现——二次型的应用 177

6.3.1二次型与条件优化 177

6.3.2二次型与二次曲线或二次曲面 178

6.4解因析理——实对称矩阵的性质与二次型的化简 180

6.4.1实对称矩阵的性质 180

6.4.2用正交变换法化二次型为标准形 181

6.4.3用配方法化二次型为标准形 186

6.5拓展提高——正定二次型及应用 188

6.5.1二次型的分类 188

6.5.2二次型正定性的判别 189

6.5.3二次型典型题解析 194

习题6 195

第7章Mathematica在线性代数中的应用 197

7.1 Mathematica使用入门 197

7.1.1 Mathematica的启动与运行 197

7.1.2表达式的输入 199

7.1.3特殊符号和表达式的输入 199

7.1.4函数库的应用 200

7.1.5联机帮助系统的使用 201

7.2 Mathematica的基本运算 203

7.2.1常用的符号 203

7.2.2常数 203

7.2.3变量 206

7.2.4函数 207

7.2.5表 210

7.2.6表达式 213

7.3线性代数中的常用语句 215

7.3.1行列式与矩阵 215

7.3.2矩阵的秩与向量组的最大无关组 218

7.3.3线性方程组 221

7.3.4矩阵的特征值与特征向量 224

7.4应用案例 229

参考文献 237

参考答案 238