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引言 1

第一部分 点集拓扑学 10

第一讲 预备知识 10

1.1集合代数与关系 10

1.2函数与等价关系 12

1.3序关系与选择公理 14

1.4集合的可数性 18

1.5基数简介 20

习题1 22

第二讲 拓扑空间的基本概念 25

2.1拓扑空间的定义 25

2.2度量拓扑 27

2.3拓扑空间的几个基本概念 28

2.4子空间 33

习题2 34

第三讲 拓扑空间之间的连续映射与同胚 37

3.1连续映射的定义 37

3.2连续映射的性质 39

3.3同胚映射 42

3.4嵌入与嵌入映射 44

习题3 44

第四讲 拓扑基与Tychonoff积空间 47

4.1拓扑基与子基 47

4.2乘积空间 51

习题4 57

第五讲 分离性公理与可数性公理 61

5.1分离性公理 61

5.2可数性公理 69

5.3拓扑性质的可遗传性与可乘性 72

习题5 73

第六讲Uryshon引理及其应用 76

6.1 Uryshon引理 76

6.2 Tietze扩张引理 79

6.3 Uryshon度量化定理 82

习题6 84

第七讲 拓扑空间的紧致性与列紧性 87

7.1紧致与列紧的定义 88

7.2列紧空间的性质 89

7.3紧致空间的性质 91

习题7 96

第八讲 局部紧性与仿紧性 99

8.1局部紧性 99

8.2仿紧性 103

习题8 110

第九讲 连通性与道路连通性 112

9.1连通性的定义及例子 112

9.2连通空间的性质 113

9.3连通分支 116

9.4局部连通性 117

9.5道路及其运算 118

9.6道路连通空间 119

9.7道路连通分支 121

9.8局部道路连通 122

习题9 125

第十讲 商空间与商映射 127

10.1商空间 127

10.2拓扑锥 130

10.3贴空间 130

10.4映射柱与映射锥 132

10.5商映射 133

10.6几个例子 137

习题10 138

第十一讲 闭曲面及其分类 141

11.1拓扑流形的概念 141

11.2闭曲面 141

11.3两类闭曲面 142

11.4闭曲面分类定理 144

习题11 149

第十二讲 点网、滤子与收敛性概念的扩张 151

12.1点网 151

12.2滤子 157

习题12 160

第十三讲 函数空间 162

13.1点态收敛拓扑 162

13.2Rx上的一致收敛拓扑 163

13.3紧开拓扑 166

13.4 k-空间与Ascoli定理 169

习题13 172

第二部分 代数拓扑学 176

第十四讲 映射的同伦与基本群的定义 176

14.1映射的同伦 176

14.2道路类的逆与乘积 181

14.3道路类的运算性质 183

14.4空间的基本群定义 185

14.5连续映射诱导的基本群同态 185

14.6基本群与基点的关系 186

习题14 187

第十五讲 球面Sn的基本群 190

15.1S1的基本群 190

15.2 n≥2时Sn是单连通的 194

15.3 T 2的基本群 195

习题15 196

第十六讲 基本群的同伦不变性 198

16.1同伦的映射所诱导的基本群的同态之间的关系 198

16.2拓扑空间的同伦等价 200

16.3形变收缩核 201

16.4可缩空间 208

习题16 209

第十七讲 基本群的计算 212

17.1 Seifert-Van Kampen定理 212

17.2 Seifert-Van Kampen定理应用举例 216

17.3轨道空间与基本群 220

习题17 222

第十八讲 基本群的若干应用 224

18.1闭曲面分类定理证明的完成 224

18.2 Brouwer不动点定理2维情形的证明 226

18.3代数基本定理的证明 227

18.4曲面的边界问题 227

18.5扭结群的W irtinger表示 228

18.6平面的分离问题 233

习题18 235

第十九讲 复叠空间及其基本性质 236

19.1复叠映射与复叠空间 236

19.2映射的提升问题 240

19.3复叠空间的基本群 244

19.4复叠空间的分类 249

习题19 250

第二十讲 复叠变换与正则复叠空间 253

20.1复叠变换 253

20.2正则复叠空间 255

20.3泛复叠空间 258

20.4四元数简介 261

习题20 262

第二十一讲 单纯复形的同调群 263

21.1单纯形 263

21.2单纯复（合）形 265

21.3多面体与可剖分空间 267

21.4承载单形 269

21.5单形的定向 270

21.6链群 270

21.7边缘同态 271

21.8同调群 274

习题21 277

第二十二讲 同调群的简单性质、G系数同调群 280

22.1同调群的简单性质 280

22.2 0-维同调群 281

22.3 1-维同调群与基本群的关系 282

22.4 Euler-Poincare公式 284

22.5以交换群G为系数群的同调群 285

习题22 286

第二十三讲 同调群的基本计算 288

习题23 296

第二十四讲 单纯映射与单纯逼近 298

24.1单纯映射 298

24.2单纯映射诱导的同调群的同态 300

24.3单纯逼近 303

24.4重心重分 306

24.5单纯逼近存在定理 308

习题24 310

第二十五讲 连续映射诱导的同调群同态 313

25.1链复形、链映射和链同伦 313

25.2同调群的重分不变性 317

25.3诱导同调f*q的定义 320

25.4多面体与可剖分空间的同调群 321

习题25 324

第二十六讲 同调群的同伦不变性 326

26.1同调群的同伦不变性 326

26.2同调群计算再举例 327

习题26 333

第二十七讲Mayer-Vietoris同调序列 334

27.1简约同调群 334

27.2相对同调群 335

27.3同调代数的基本知识，正合同调序列 337

27.4 Mayer-Vietoris同调序列 342

习题27 347

第二十八讲 球面自映射的映射度及其应用 349

28.1球面自映射的映射度的定义和性质 349

28.2对径映射的映射度及其应用 352

28.3保径映射的映射度 356

28.4 Borsuk-Ulam定理 359

习题28 361

第二十九讲Lefsehetz不动点定理 363

29.1代数准备 363

29.2有限复形K的迹数 365

29.3可剖分空间的Lefsehetz数 367

习题29 370

第三部分 拓扑群基础 372

第三十讲 拓扑群的基本概念与基本性质 372

30.1拓扑群的概念 372

30.2拓扑群的性质 374

习题30 380

第三十一讲 拓扑群的子群、商群与拓扑变换群 382

31.1拓扑群的子群 382

31.2拓扑群的商群 385

31.3拓扑变换群 390

习题31 394

第三十二讲 拓扑群的可乘性、分离性、连通性与逆极限 396

32.1拓扑群的积 396

32.2拓扑群的分离性 397

32.3拓扑群的连通性 401

32.4逆极限 404

习题32 407

索引 409

参考文献 418