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译者的话 1

前言 1

志谢 3

引言 6

序 10

第一章 数学景观 13

1.1 数学是什么 13

1.2 数学在哪里 15

1.3 数学社会 15

1.4 这个行业的工具 18

1.5 已知的数学知识有多少 22

1.6 乌拉姆的困境 25

1.7 可能有多少数学知识 28

附录A 1910年前大事年表 29

附录B 数学分类，1868年与1979年的比较 31

第二章 数学经验种种 35

2.1 当代的个体和集体意识 35

2.2 理想的数学家 36

2.3 一个物理学家看数学 46

2.4 夏弗里维奇和新柏拉图主义 52

2.5 异端 54

2.6 个人与文化 59

第三章 外部问题 64

3.1 数学为什么有效——约定论的回答 64

3.2 数学模型 71

3.3 数学的效用 73

3.4 并非“正统”的应用 81

3.5 抽象和经院神学 100

第四章 内部问题 107

4.1 符号 107

4.2 抽象 110

4.3 推广 117

4.4 形式化 120

4.5 数学对象和结构；存在 124

4.6 证明 130

4.7 无限——数学的超凡容器 134

4.8 伸长的线 140

4.9 命运之神的硬币 144

4.10 美学成分 149

4.11 模式、秩序和混沌 152

4.12 算法数学和论理数学 161

4.13 普遍性和抽象的倾向——中国剩余定理的事例研究 167

4.14 数学之谜 174

4.15 多样性中的统一 176

第五章 数学专题选述 179

5.1 群论和有限单群分类 180

5.2 素数定理 186

5.3 非欧几何 192

5.4 非康托尔集合论 199

5.5 非标准分析 212

5.6 傅里叶分析 227

第六章 数学教学 244

6.1 一个预科学校数学教师的自白 244

6.2 传统教学法的危机 246

6.3 波利亚的发现技巧 256

6.4 新数学的创造：拉卡托斯启发法的应用 262

6.5 比较美学 268

6.6 数学的非解析方面 269

第七章 从确实性到易谬性 285

7.1 柏拉图主义、形式主义和构造主义 285

7.2 正在工作的数学家的哲学困境 287

7.3 欧几里得神话 288

7.4 基础的发现和丧失 295

7.5 形式主义的数学哲学 302

7.6 拉卡托斯与可疑性哲学 308

第八章 数学实在 321

8.1 黎曼假设 321

8.2 π和？ 327

8.3 数学模型，计算机和柏拉图主义 331

8.4 为什么我应当相信计算机 336

8.5 有限单群的分类 342

8.6 直觉 344

8.7 四维直觉 352

8.8 关于假想对象的真正事实 358

参考文献 365

索引 394