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第一篇 数的同余 第1～12目 1

1 同余的数，模，剩余及非剩余 第1～3目 1

2 最小剩余 第4目 2

3 关于同余的若干基本定理 第5～11目 2

4 若干应用 第12目 4

第二篇 一次同余方程 第13～44目 5

5 关于素数、因数等的若干预备定理 第13～25目 5

6 一次同余方程的解 第26～31目 9

7 对若干个给定的模，求分别同余于给定的剩余的数的方法 第32～36目 12

8 多元线性同余方程组 第37目 15

9 若干不同的定理 第38～44目 17

第三篇 幂剩余 第45～93目 23

10 首项为1的几何数列的各项的剩余组成周期序列 第45～48目 23

首先讨论素数模 第49～81目 24

11 当模为素数p时，周期的项数是p-1的除数 第49目 24

12 Fermat定理 第50～51目 25

13 对应的周期的项数等于p-1的给定的除数的数的个数 第52～56目 26

14 原根，基，指标 第57目 29

15 指标的运算 第58～59目 29

16 同余方程xn？A的根 第60～68目 30

17 不同系统的指标间的关系 第69～71目 36

18 为特殊应用选取基 第72目 37

19 求原根的方法 第73～74目 38

20 关于周期和原根的几个不同的定理 第75～81目 39

（Wilson定理） 第76～78目 40

合数模的讨论 第82～93目 43

21 模为素数幂 第82～89目 43

22 模为2的方幂 第90～91目 46

23 由若干个素数合成的模 第92～93目 47

第四篇 二次同余方程 第94～152目 49

24 二次剩余和非剩余 第94～95目 49

25 若模是素数，则在小于模的数中剩余的个数等于非剩余的个数 第96～97目 50

26 合数是否是给定素数的剩余或非剩余的问题依赖于它的因数的性质 第98～99目 51

27 合数模 第100～105目 52

28 给定的数是给定素数模的剩余或非剩余的一般判别法 第106目 56

以给定的数为其剩余或非剩余的素数的讨论 第107～150目 56

29 剩余-1 第108～111目 56

30 剩余＋2和-2 第112～116目 58

31 剩余＋3和-3 第117～120目 60

32 剩余＋5和-5 第121～123目 62

33 剩余＋7和-7 第124目 64

34 为一般讨论做准备 第125～129目 64

35 用归纳方法来发现一般的（基本）定理及由其推出的结论 第130～134目 68

36 基本定理的严格证明 第135～144目 72

37 用类似方法证明第114目中的定理 第145目 76

38 一般问题的解法 第146目 77

39 以给定的数为其剩余或非剩余的全体素数的线性表示式 第147～150目 78

40 其他数学家关于这些研究的工作 第151目 81

41 一般形式的二次同余方程 第152目 83

第五篇 二次型和二次不定方程 第153～307目 84

42 研究计划；型的定义及符号 第153目 84

43 数的表示；行列式 第154目 84

44 数M由型（a,b,c）来表示时所属的表示式？（mod M）的值 第155～156目 85

45 一个型包含另一个型，或包含在另一个型之中；正常及反常变换 第157目 86

46 正常等价及反常等价 第158目 87

47 相反的型 第159目 88

48 相邻的型 第160目 89

49 型的系数的公约数 第161目 90

50 给定的一个型变为另一个型的所有可能的同型变换之间的关系 第162目 90

51 歧型 第163目 95

52 与同时既是正常地又是反常地包含在另一个型中的型有关的定理 第164目 95

53 由型表示数的一般性研究以及这些表示与变换的联系 第166～170目 100

54 行列式为负的型 第171～181目 103

55 特殊的应用：将一个数分解成两个平方数，分解成一个平方数和另一个平方数的两倍，分解成一个平方数和另一个平方数的三倍 第182目 114

56 具有正的非平方数行列式的型 第183～205目 116

57 行列式为平方数的型 第206～212目 147

58 包含在另一个与之不等价的型之中的型 第213～214目 152

59 行列式为零的型 第215目 155

60 所有二元二次不定方程的一般整数解 第216～221目 158

61 历史注记 第222目 162

关于型的进一步研究 第223～265目 163

62 给定行列式的型的分类 第223～225目 163

63 类划分成层 第226～227目 166

64 层划分成族 第228～233目 168

65 型的合成 第234～244目 175

66 层的合成 第245目 196

67 族的合成 第246～248目 197

68 类的合成 第249～251目 199

69 对给定的行列式，在同一个层的每一个族中都有同样多个类 第252目 202

70 不同的层中各个族所含类的个数的比较 第253～256目 203

71 歧类的个数 第257～260目 209

72 对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不能适合于任何正常本原（当行列式为负数时，还是定正的）族 第261目 215

73 基本定理以及与剩余-1,+2,-2有关的其他定理的第二个证明 第262目 215

74 精确地确定不能适合于族的那一半特征 第263～264目 217

75 分解素数成两个平方数的特殊方法 第265目 219

76 三元型研究杂谈 第266～285目 220

对于二元型理论的某些应用 第286～307目 247

77 怎样求一个型，由它的加倍可以得到主族中一个给定的二元型 第286目 247

78 除了在第263和264目中已经证明其不可能的那些特征之外，其他所有的特征都与某个族相对应 第287目 249

79 数及二元型分解为三个平方的理论 第288～292目 250

80 Fermat定理的证明：任何整数可以分解成三个三角数或者分解成四个平方数 第293目 257

81 方程ax2+by2+cz2=0的解 第294～295目 258

82 Legendre讲述基本定理的方法 第296～298目 262

83 由任意的三元型表示零 第299目 265

84 二元二次不定方程的有理通解 第300目 267

85 族的平均个数 第301目 268

86 类的平均个数 第302～304目 269

87 正常本原类的特殊算法；正则和非正则的行列式，等 第305～307目 273

第六篇 前面讨论的若干应用 第308～334目 281

88 将分数分解为若干个较简单分数 第309～311目 281

89 普通分数转换为十进制数 第312～318目 283

90 用排除法解同余方程x2？A 第319～322目 287

91 用排除法解不定方程mx2+ny2=A 第323～326目 290

92 A为负数时同余方程x2？A的另一种解法 第327，328目 295

93 判别合数与素数及寻求合数的因数的两个方法 第329～334目 297

第七篇 分圆方程 第335～366目 305

94 讨论可归结为把圆分为素数份的最简单情形 第336目 305

95 关于弧（它由整个圆周的一份或若干份组成）的三角函数的方程；把三角函数归结为方程xn-1=0的根 第337～338目 306

关于方程xn-1=0的根的理论（假定n是素数） 第339～354目 308

96 若不计根1，则全部其余的根（Ω）是属于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0 第339～340目 308

97 函数X不能分解为系数均为有理数的因式的乘积 第341目 309

98 进一步讨论的目的的说明 第342目 310

99 Ω中的所有的根可分为若干个类（周期） 第343目 311

100 关于Ω中根组成的周期的几个的定理 第344～351目 312

101 基于以上讨论解方程X=0 第352～354目 319

进一步讨论根的周期 第355～360目 326

102 有偶数项的和是实数 第355目 326

103 把（Ω）中的根分为两个周期的方程 第356目 327

104 第四篇中提到的一个定理的证明 第357目 329

105 把（Ω）中的根分为三个周期的方程 第358目 330

106 把求Ω中的根的方程化为最简方程 第359～360目 334

以上研究在三角函数中的应用 第361～364目 337

107 求对应于（Ω）中每个根的角的方法 第361目 337

108 不用除法从正弦与余弦导出正切，余切，正割及余割 第362目 338

109 逐次降低关于三角函数的方程次数的方法 第363,364目 339

110 利用解二次方程或几何作图方法可实现的圆周的等分 第365,366目 343

补记 346

附表 348

译者注 351

附录 高斯——数学王者 科学巨人 357

1 德国情势 357

2 贫寒之家 360

3 心算神童 361

4 学院三载 363

5 大学攻读 366

6 出手不凡 370

7 科学随记 371

8 博士论文 375

9 算术探索 378

10 一算成名 382

11 恋爱结婚 386

12 公爵之死 387

13 丧妻再娶 390

14 天文著作 394

15 辉煌十年 396

16 大地测量 400

17 曲面理论 404

18 非欧几何 406

19 物理研究 410

20 教学工作 416

21 政治风波 418

22 晚年生活 421

23 业余爱好 423

24 人际关系 425

25 工作风格 435

26 溘然长逝 440

27 高斯全集 446

注 448

人名索引 458

人名译名表 465

编辑手记 471