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第1章 误差分析与数值计算 1

1.1 引言 1

1.1.1 误差的来源 1

1.1.2 误差理论在数值计算中的作用 2

1.2 绝对误差与相对误差、有效数字 5

1.2.1 绝对误差与相对误差 5

1.2.2 有效数字 6

1.3 近似数的简单算术运算 7

1.3.1 近似数的加法 7

1.3.2 近似数的乘法 8

1.3.3 近似数的除法 8

1.3.4 近似数的幂和根 9

1.3.5 近似数的对数 9

1.3.6 近似数的减法 9

1.4 数值计算中误差分析的若干原则 10

习题1 11

第2章 非线性方程（组）的近似解法 12

2.1 引言 12

2.2 根的隔离 12

2.2.1 根的隔离 12

2.2.2 代数方程实根的上下界 13

2.2.3 代数方程实根的个数 15

2.3 对分法 17

2.4 迭代法 18

2.4.1 迭代法 18

2.4.2 收敛定理 19

2.4.3 迭代法收敛速度 22

2.4.4 加速收敛技术 23

2.5 牛顿迭代法 25

2.5.1 牛顿迭代公式 25

2.5.2 牛顿迭代法的收敛性 26

2.5.3 牛顿法中初始值的选取 27

2.6 弦截法 28

2.7 用牛顿法解方程组 30

习题2 32

第3章 线性方程组的解法 34

3.1 引言 34

3.2 高斯消去法 35

3.2.1 顺序高斯消去法 35

3.2.2 主元消去法 38

3.3 矩阵的LU分解 42

3.3.1 矩阵的LU分解 42

3.3.2 矩阵A的LU分解求法 45

3.4 对称矩阵的LDLT分解 47

3.4.1 对称矩阵的矩阵分解形式 47

3.4.2 对称矩阵LDLT分解的计算公式 48

3.4.3 对称带形矩阵LDLT分解的带宽性质 51

3.4.4 解对称正定线性方程组的矩阵分解法 52

3.5 线性方程组解的可靠性 54

3.5.1 误差向量和向量范数 54

3.5.2 残向量 57

3.5.3 误差的代数表征 58

3.5.4 病态线性方程组 59

3.5.5 关于病态方程组的求解问题 60

3.6 简单迭代法 61

3.6.1 迭代法简介 61

3.6.2 迭代过程的收敛性 62

3.7 雅可比迭代法与高斯—塞得尔迭代法 65

3.7.1 雅可比迭代法 65

3.7.2 高斯—塞得尔迭代法 66

3.7.3 雅可比迭代法和高斯—塞得尔迭代法的收敛性 66

3.8 解线性方程组的超松弛法 70

习题3 73

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算 76

4.1 引言 76

4.2 幂法与反幂法 76

4.2.1 幂法 76

4.2.2 反幂法 79

4.3 雅可比方法 82

4.3.1 预备知识 82

4.3.2 雅可比方法 82

习题4 88

第5章 插值与拟合 90

5.1 引言 90

5.2 插值多项式的存在性和唯一性、线性插值与抛物插值 90

5.2.1 代数插值问题 90

5.2.2 插值多项式的存在性和唯一性 91

5.2.3 线性插值与抛物插值 92

5.3 拉格朗日插值多项式 95

5.3.1 插值基函数 95

5.3.2 拉格朗日插值公式 96

5.3.3 插值余项与误差估计 96

5.4 均差插值公式 100

5.4.1 均差的定义、均差表及性质 100

5.4.2 均差插值公式 102

5.5 差分、等距节点插值多项式 106

5.5.1 差分的定义、性质及差分表 106

5.5.2 等距节点插值公式 108

5.6 埃尔米特插值 110

5.6.1 构造基函数的方法 110

5.6.2 构造均差表的方法 113

5.7 分段低次插值 114

5.7.1 龙格现象 114

5.7.2 分段线性插值 115

5.7.3 分段三次埃尔米特插值 116

5.8 三次样条函数 118

5.8.1 三次样条函数的定义 118

5.8.2 用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数 119

5.8.3 用节点处的一阶导数表示的三次样条插值函数 122

5.8.4 三次样条插值函数的误差估计 124

5.8.5 追赶法 125

5.9 曲线拟合的最小二乘法 126

5.9.1 问题的提出 126

5.9.2 最小二乘法表述 126

5.9.3 最小平方逼近多项式的存在唯一性 127

5.9.4 观察数据的修匀 131

习题5 132

第6章 数值积分和数值微分 134

6.1 引言 134

6.2 牛顿—柯特斯型数值积分公式 136

6.2.1 牛顿—柯特斯求积公式的导出 136

6.2.2 插值型求积公式的代数精度 139

6.2.3 梯形公式和辛普生公式的余项 139

6.3 复合求积公式 142

6.3.1 牛顿—柯特斯公式的收敛性和数值稳定性 142

6.3.2 复合梯形公式与复合辛普生公式 143

6.3.3 步长的自动选择 146

6.4 龙贝格求积公式 147

6.4.1 复合梯形公式的递推公式 147

6.4.2 龙贝格求积算法 149

6.4.3 计算步骤及数值例子 150

6.5 高斯求积公式 152

6.5.1 高斯积分问题的提出 152

6.5.2 高斯求积公式 153

6.5.3 勒让德多项式的性质 154

6.5.4 高斯—勒让德求积公式 155

6.5.5 高斯—勒让德求积公式的余项 160

6.6 二重积分的数值积分法 161

6.6.1 矩形域上的二重积分 162

6.6.2 一般区域上的二重积分 164

6.7 数值微分 164

6.7.1 均差公式 165

6.7.2 插值型求导公式 166

6.7.3 三次样条求导 168

习题6 169

第7章 常微分方程的数值解法 171

7.1 引言 171

7.2 欧拉折线法与改进的欧拉法 171

7.2.1 欧拉（Euler）折线法 171

7.2.2 初值问题的等价问题与改进的欧拉法 173

7.2.3 公式的截断误差 175

7.2.4 预报—校正公式 176

7.3 龙格—库塔方法 177

7.3.1 泰勒级数法 177

7.3.2 龙格—库塔方法的基本思想 178

7.3.3 龙格—库塔公式的推导 179

7.3.4 步长的自动选择 185

7.4 线性多步法 186

7.4.1 线性多步方法 186

7.4.2 阿达姆斯外推法 186

7.4.3 阿达姆斯内插法 188

7.4.4 隐格式迭代、预报—校正公式 190

7.4.5 阿达姆斯预报—校正法的改进 192

7.4.6 利用泰勒展开方法构造线性多步公式 193

7.5 算法的稳定性与收敛性 196

7.5.1 稳定性 196

7.5.2 收敛性 198

7.6 微分方程组和高阶微分方程的解法 200

7.6.1 一阶方程组 200

7.6.2 高阶微分方程的初值问题 202

习题7 205

第8章 偏微分方程数值解法 207

8.1 引言 207

8.2 常微分方程边值问题的差分方法 207

8.2.1 差分方程的建立 207

8.2.2 差分方程解的存在唯一性、对边值问题解的收敛性、误差估计 208

8.2.3 差分方程组的解法 211

8.2.4 关于一般二阶常微分方程第3边值问题 212

8.3 化二阶椭圆型方程边值问题为差分方程 213

8.3.1 微分方程的差分逼近 214

8.3.2 边值条件的近似处理 216

8.4 椭圆差分方程组的迭代解法 220

8.4.1 差分方程的迭代解法 220

8.4.2 迭代法的收敛性 222

8.5 抛物型方程的显式差分格式及其收敛性 224

8.5.1 显式差分格式的建立 224

8.5.2 差分格式Ⅰ的收敛性 225

8.6 抛物型方程显式差分格式的稳定性 227

8.6.1 差分格式的稳定性问题 227

8.6.2 ε-图方法 229

8.6.3 稳定性的定义及显式差分格式的稳定性 231

8.7 抛物型方程的隐式差分格式 231

8.7.1 简单隐式格式 231

8.7.2 六点差分格式 232

8.8 双曲型方程的差分解法 234

8.8.1 微分方程的差分逼近 234

8.8.2 初始条件和边值条件的差分近似 234

8.8.3 差分解的收敛性和差分格式的稳定性 235

习题8 236

习题答案 238