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第6章 微分方程 1

6.1 微分方程的基本概念 1

6.1.1 引例 1

6.1.2 微分方程的有关概念 2

6.2 可分离变量的微分方程及其解法 5

6.2.1 可分离变量的微分方程 5

6.2.2 通过变量代换可化为可分离变量的微分方程 7

6.2.3 可分离变量微分方程应用举例 9

6.3 一阶线性微分方程 11

6.3.1 一阶线性微分方程概念 11

6.3.2 一阶线性微分方程解法 12

6.3.3 一阶线性微分方程应用举例 13

6.4 线性微分方程解的结构理论 16

6.4.1 线性微分方程的概念 16

6.4.2 齐次线性方程解的结构理论 17

6.4.3 非齐次线性微分方程解的结构理论 18

6.5 二阶常系数线性微分方程 19

6.5.1 概念 19

6.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 20

6.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 23

6.5.4 二阶常系数线性微分方程应用举例 27

第7章 拉普拉斯变换 33

7.1 拉氏变换的基本概念 33

7.1.1 拉氏变换的基本概念 33

7.1.2 单位阶梯函数 35

7.1.3 狄拉克函数（单位脉冲函数） 37

7.2 拉氏变换的性质 39

7.3 拉氏变换的逆变换 48

7.3.1 部分分式法 49

7.3.2 拉氏逆变换 50

7.4 拉氏变换应用举例 53

7.4.1 拉氏变换在解常微分方程中的应用 53

7.4.2 拉氏变换在解常系数线性微分方程组中的应用 54

7.4.3 拉氏变换在电学中的应用（选学内容） 55

第8章 矩阵及其应用 59

8.1 线性方程组与行列式 59

8.1.1 二阶行列式 59

8.1.2 三阶行列式 60

8.1.3 n阶行列式的概念 62

8.1.4 行列式的性质 62

8.1.5 几种特殊的行列式 64

8.1.6 行列式的计算 65

8.1.7 克莱姆法则 67

8.2 矩阵的概念 70

8.2.1 矩阵的概念 70

8.2.2 几种特殊矩阵 71

8.3 矩阵的运算 74

8.3.1 矩阵相等 75

8.3.2 矩阵的加法 75

8.3.3 矩阵的数乘 76

8.3.4 矩阵的乘法 77

8.3.5 矩阵的转置 80

8.3.6 方阵的行列式 82

8.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 84

8.4.1 矩阵的初等变换 84

8.4.2 几种常见的化简矩阵 84

8.4.3 矩阵初等变换的有关定理 86

8.4.4 矩阵的秩 89

8.4.5 关于矩阵秩的定理 89

8.5 逆矩阵 92

8.5.1 可逆矩阵与逆矩阵 92

8.5.2 有关逆矩阵的定理 93

8.5.3 逆矩阵的性质 96

8.5.4 逆矩阵的求法 97

8.6 线性方程组 101

8.6.1 线性方程组的基本概念 101

8.6.2 线性方程组的初等变换 103

8.6.3 线性方程组解的讨论 104

8.6.4 高斯（Gauss）消元法 106

第9章 无穷级数 114

9.1 无穷级数的基本概念及性质 114

9.1.1 无穷级数的基本概念 114

9.1.2 级数的性质 116

9.2 数项级数的审敛法 119

9.2.1 正项级数收敛的充分必要条件定理 119

9.2.2 正项级数的审敛法 120

9.2.3 交错级数的审敛法 124

9.2.4 绝对收敛与条件收敛 126

9.3 函数项级数与幂级数 128

9.3.1 函数项级数 128

9.3.2 函数项级数的和函数 129

9.3.3 幂级数及其收敛性 129

9.4 幂级数的运算与和函数 133

9.4.1 幂级数的和函数 133

9.4.2 幂级数的运算性质 134

9.4.3 幂级数和函数的求法 136

9.5 泰勒级数 函数的幂级数展开 137

9.5.1 关于（x-x0）的幂级数的两条性质 137

9.5.2 泰勒级数 138

9.5.3 函数f（x）可展的条件定理 138

9.5.4 初等函数的展开方法 139

9.6 傅里叶级数 145

9.6.1 三角级数及三角函数系的正交性 145

9.6.2 欧拉—傅里叶公式 146

9.6.3 傅里叶级数 147

9.6.4 狄利克雷（收敛）充分条件定理 148

9.6.5 周期为2π的函数的傅里叶级数展开 148

9.6.6 奇函数和偶函数的傅里叶级数 152

9.6.7 以T为周期的函数的傅里叶级数 154

习题参考答案 162