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连续思想篇（一）——一元函数微积分学 3

第1章 初等函数 3

1.1函数的概念和性质 3

1.1.1问题的提出 3

1.1.2实数集 3

1.1.3函数的概念 4

1.1.4函数的性质 7

1.2初等函数 8

1.2.1基本初等函数 8

1.2.2复合函数 10

1.2.3初等函数的定义 10

1.3建立函数关系——数学模型 10

数学重要历史人物——笛卡儿 13

习题1 14

第2章 极限与连续 17

2.1极限的概念与无穷小量 17

2.1.1数列的极限 17

2.1.2函数的极限 18

2.1.3极限的性质 20

2.1.4无穷大与无穷小 20

2.2极限的运算 21

2.2.1极限的运算法则 21

2.2.2复合函数的极限运算法则 22

2.2.3夹逼准则 23

2.2.4重要极限 23

2.2.5无穷小的比较 24

2.3函数的连续性 26

2.3.1函数的连续性 26

2.3.2函数的间断点 27

2.3.3初等函数的连续性 27

2.3.4闭区间上连续函数的性质 28

数学重要历史人物——柯西 30

习题2 32

第3章 变化率与导数 35

3.1导数的概念 35

3.1.1实际问题 35

3.1.2导数 36

3.1.3导数的几何意义 38

3.1.4可导与连续的关系 39

3.2导数的计算 39

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 40

3.2.2复合函数的求导法则 40

3.2.3基本导数公式和求导法则 41

3.2.4高阶导数 42

3.3微分中值定理 44

3.4导数的应用 47

3.4.1函数的单调性 47

3.4.2函数的极值 48

3.5函数变化率的数学模型 49

3.6洛必达法则 52

3.7微分与近似计算 54

3.7.1微分的定义 54

3.7.2基本微分公式与微分运算法则 56

3.7.3微分在近似计算中的应用 57

数学重要历史人物——费马 58

习题3 60

第4章 积分 63

4.1不定积分 63

4.1.1原函数与不定积分的概念 63

4.1.2基本积分表 64

4.1.3不定积分的性质 65

4.2不定积分计算 66

4.2.1换元积分法 66

4.2.2分部积分法 68

4.3定积分的引出及概念 69

4.3.1引例 69

4.3.2定积分的定义 70

4.3.3定积分的几何意义 71

4.3.4定积分的性质 72

4.4定积分计算 72

4.4.1积分上限函数 72

4.4.2微积分基本公式 74

4.4.3定积分的换元积分法 75

4.4.4定积分的分部积分法 76

4.5定积分应用 77

4.5.1微元法 77

4.5.2平面图形的面积 77

4.5.3体积 79

4.5.4投资回收期的计算 80

数学重要历史人物——莱布尼茨 81

习题4 83

离散思想篇 91

第5章 线性代数初步 91

5.1线性方程组与矩阵 91

5.2消元法与矩阵初等变换 93

5.3行列式的概念与计算 96

5.3.1二、三阶行列式 96

5.3.2一般阶行列式的定义 98

5.3.3行列式的性质 100

5.3.4行列式的计算 105

5.3.5克拉默法则 107

5.4线性代数模型 108

5.4.1食谱营养模型 108

5.4.2差分方程 109

数学重要历史人物——高斯 111

习题5 113

第6章 矩阵与线性方程组 116

6.1矩阵的基本运算 116

6.1.1矩阵加法与数量乘法 116

6.1.2矩阵乘法 117

6.1.3矩阵的转置 119

6.2矩阵的逆 120

6.2.1矩阵逆的概念 120

6.2.2由伴随矩阵求矩阵的逆 121

6.2.3由初等矩阵求矩阵的逆 121

6.3矩阵的秩 123

6.3.1行阶梯形矩阵 123

6.3.2矩阵的秩的定义 128

6.4 n维向量及其线性相关性 128

6.4.1 n维向量及其线性运算 128

6.4.2向量组线性相关性 129

6.5向量组的秩及最大线性无关组 132

6.5.1向量组的等价 132

6.5.2向量组的秩 133

6.5.3向量组的秩与矩阵的秩的关系 134

6.6线性方程组的解 135

6.6.1解线性方程组 135

6.6.2存在与唯一性问题 137

6.6.3齐次线性方程组 138

6.6.4非齐次线性方程组 142

6.7应用举例 144

6.7.1列昂季耶夫投入产出模型 144

6.7.2交通流量问题 146

数学重要历史人物——伯努利 148

习题6 149

第7章 矩阵的特征值与特征向量 153

7.1向量的内积与正交向量组 153

7.1.1向量的内积 153

7.1.2正交向量组与施密特正交化方法 155

7.1.3正交矩阵 156

7.2矩阵的特征值与特征向量 157

7.2.1特征值与特征向量的概念和求法 157

7.2.2特征值和特征向量的性质 158

7.3相似矩阵与方阵的对角化 159

7.3.1相似矩阵及其性质 159

7.3.2矩阵与对角矩阵相似的条件 160

7.4实对称矩阵的对角化 161

7.4.1实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 161

7.4.2实对称矩阵的对角化 162

7.5特征值与特征向量的应用 163

数学重要历史人物——埃尔米特 165

习题7 166

第8章 二次型 169

8.1二次型及其标准形 169

8.1.1二次型及其矩阵表示 169

8.1.2二次型的标准形 171

8.2化二次型为标准形 171

8.2.1正交变换法 172

8.2.2配方法 173

8.3正定二次型 176

8.4正交变换化标准型的几何应用 178

数学重要历史人物——阿基米德 182

习题8 184

参考文献 186

附录 积分表 187

习题答案 191