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第1章 函数与模型 1

课前预习导引 1

一、大纲解读 1

1.教学大纲解读 1

2.考研大纲解读（2012版） 1

二、问题搜索 1

整理、归纳和提升 2

一、知识整理 2

二、技能归纳 4

1.函数定义域和值域的求法 4

2.判断函数具备某些基本性质的方法 6

3.建立函数关系的方法 7

三、能力提升 8

1.停下来想一想栏目解惑 8

2.辨错作答 11

3.思想方法释义 12

帮助与提高 13

一、教材（A）类题解答 13

习题1.1（A） 13

习题1.2（A） 17

习题1.3（A） 18

二、教材（B）类题解答 20

习题1.1（B） 20

习题1.2（B） 21

三、考研连线 21

1.基础题 21

2.拓展题 23

四、探究与应用 24

建立三角函数模型求临界值 24

走进数学 24

函数的起源 24

第2章 极限与连续 26

课前预习导引 26

一、大纲解读 26

1.教学大纲解读 26

2.考研大纲解读（2012版） 26

二、问题搜索 27

整理、归纳和提升 29

一、知识整理 29

二、技能归纳 32

1.计算极限常用的方法 32

2.判断函数连续性的方法 38

3.判断函数间断点的方法 39

4.利用连续函数性质判断方程根的存在性的方法 40

三、能力提升 41

1.停下来想一想栏目解惑 41

2.辨错作答 47

3.思想方法释义 48

帮助与提高 49

一、教材（A）类题解答 49

习题2.1（A） 49

习题2.2（A） 50

习题2.3（A） 57

习题2.4（A） 57

习题2.5（A） 58

二、教材（B）类题解答 63

习题2.2（B） 63

习题2.4（B） 66

习题2.5（B） 68

三、考研连线 69

1.基础题 69

2.拓展题 75

四、探究与应用 76

“黄金分割”与极限 76

走进数学 78

极限是学习高等数学的基础 78

第3章 导数与微分 80

课前预习导引 80

一、大纲解读 80

1.教学大纲解读 80

2.考研大纲解读（2012版） 80

二、问题搜索 81

整理、归纳和提升 82

一、知识整理 82

二、技能归纳 84

1.计算导数常用的方法 84

2.求微分的方法 89

3.求曲线上某点处的切线方程和法线方程的方法 89

4.求经济变量的边际和弹性的方法 89

三、能力提升 91

1.停下来想一想栏目解惑 91

2.辨错作答 99

3.思想方法释义 101

帮助与提高 103

一、教材（A）类题解答 103

习题3.1（A） 103

习题3.2（A） 108

习题3.3（A） 115

习题3.4（A） 118

二、教材（B）类题解答 120

习题3.1（B） 120

习题3.2（B） 123

习题3.3（B） 125

三、考研连线 126

1.基础题 126

2.拓展题 130

四、探究与应用 131

两个重要极限的重要性探究 131

走进数学 133

数学符号思想 133

第4章 中值定理与导数的应用 135

课前预习导引 135

一、大纲解读 135

1.教学大纲解读 135

2.考研大纲解读（2012版） 135

二、问题搜索 136

整理、归纳和提升 138

一、知识整理 138

二、技能归纳 140

1.讨论方程根的存在性的方法 140

2.证明不等式常用的方法 142

3.用导数讨论函数性态（单调性、凹凸性、极值和拐点）的方法 143

4.函数图形的绘制 143

5.求极限的补充方法 144

三、能力提升 144

1.停下来想一想栏目解惑 144

2.辨错作答 153

3.思想方法释义 157

帮助与提高 158

一、教材（A）类题解答 158

习题4.1（A） 158

习题4.2（A） 159

习题4.3（A） 162

习题4.4（A） 164

习题4.5（A） 167

习题4.6（A） 169

二、教材（B）类题解答 172

习题4.1（B） 172

习题4.2（B） 175

习题4.3（B） 177

习题4.4（B） 180

习题4.5（B） 183

习题4.6（B） 185

三、考研连线 187

1.基础题 187

2.拓展题 193

四、探究与应用 195

饮料瓶大小的设计问题 195

管线铺设问题 196

走进数学 199

祝福语中的微积分 199

第5章 积分 200

课前预习导引 200

一、大纲解读 200

1.教学大纲解读 200

2.考研大纲解读（2012版） 200

二、问题搜索 201

整理、归纳和提升 202

一、知识整理 202

二、技能归纳 206

1.计算不定积分的方法 206

2.计算定积分的方法 208

3.计算反常积分的方法 211

4.有关变限积分的计算 211

三、能力提升 212

1.停下来想一想栏目解惑 212

2.辨错作答 215

3.思想方法释义 216

帮助与提高 218

一、教材（A）类题解答 218

习题5.1（A） 218

习题5.2（A） 220

习题5.3（A） 223

习题5.5（A） 230

二、教材（B）类题解答 231

习题5.1（B） 231

习题5.2（B） 233

习题5.3（B） 237

习题5.5（B） 240

三、考研连线 241

1.基础题 241

2.拓展题 250

四、探究与应用 252

关于积分和连续性的一点探究 252

走进数学 253

柯西与积分学的完善、发展 253

第6章 定积分的应用 255

课前预习导引 255

一、大纲解读 255

1.教学大纲解读 255

2.考研大纲解读（2012版） 255

二、问题搜索 255

整理、归纳和提升 256

一、知识整理 256

二、技能归纳 257

1.计算平面图形面积的方法 257

2.计算旋转体体积的方法 259

3.用微元法解决一些经济和管理学中的问题 260

三、能力提升 261

1.停下来想一想栏目解惑 261

2.辨错作答 262

3.思想方法释义 263

帮助与提高 264

一、教材（A）类题解答 264

习题6.2（A） 264

习题6.3（A） 265

二、教材（B）类题解答 267

习题6.2（B） 267

习题6.3（B） 269

三、考研连线 269

1.基础题 269

2.拓展题 272

四、探究与应用 274

1.理论探究 274

关于曲边梯形面积公式中面积微元的选取 274

关于旋转体体积公式中体积微元的选取 274

2.应用问题剖析 275

走进数学 277

牛顿的科学方法 277

第7章 向量代数与空间解析几何 278

课前预习导引 278

一、大纲解读 278

1.教学大纲解读 278

2.考研大纲解读（2012版） 278

二、问题搜索 278

整理、归纳和提升 279

一、知识整理 279

二、技能归纳 282

1.计算向量的数量积和向量积的方法 282

2.求平面方程的方法 283

3.求空间直线方程的方法 285

4.求点到平面或直线距离的方法 286

5.求向量、直线或平面之间夹角的方法 287

6.确定空间曲面与其方程对应关系的方法 288

7.求空间曲线的投影曲线方程的方法 289

三、能力提升 291

1.停下来想一想栏目解惑 291

2.辨错作答 294

3.思想方法释义 295

帮助与提高 297

一、教材（A）类题解答 297

习题7.1（A） 297

习题7.2（A） 298

习题7.3（A） 299

习题7.4（A） 301

二、教材（B）类题解答 302

习题7.1（B） 302

习题7.2（B） 303

习题7.3（B） 304

习题7.4（B） 305

三、探究与应用 306

如何加工一个多面体零件？ 306

走进数学 307

欧氏几何 307

第8章 多元函数微分学 310

课前预习导引 310

一、大纲解读 310

1.教学大纲解读 310

2.考研大纲解读（2012版） 310

二、问题搜索 311

整理、归纳和提升 312

一、知识整理 312

二、技能归纳 315

1.计算二元函数极限常用的方法 315

2.计算偏导数常用的方法 316

3.求多元函数全微分的方法 317

4.与二元函数相关的常用经济问题的求法 318

5.求多元函数极值、最值的方法 318

三、能力提升 319

1.停下来想一想栏目解惑 319

2.辨错作答 333

3.思想方法释义 335

帮助与提高 337

一、教材（A）类题解答 337

习题8.1（A） 337

习题8.2（A） 338

习题8.3（A） 339

习题8.4（A） 342

习题8.5（A） 343

二、教材（B）类题解答 348

习题8.1（B） 348

习题8.2（B） 348

习题8.3（B） 349

习题8.4（B） 351

习题8.5（B） 352

三、考研连线 355

1.基础题 355

2.拓展题 360

四、探究与应用 361

存贮问题 361

走进数学 363

文学中的数学美 363

第9章 重积分 365

课前预习导引 365

一、大纲解读 365

1.教学大纲解读 365

2.考研大纲解读（2012版） 365

二、问题搜索 365

整理、归纳和提升 366

一、知识整理 366

二、技能归纳 368

1.直角坐标下二重积分化为二次积分的方法 368

2.交换累次积分次序的方法 368

3.直角坐标下二重积分的计算方法 368

4.极坐标下二重积分的计算方法 369

5.三重积分的计算方法 371

6.重积分的应用 371

三、能力提升 371

1.停下来想一想栏目解惑 371

2.辨错作答 376

3.思想方法释义 376

帮助与提高 377

一、教材（A）类题解答 377

习题9.1（A） 377

习题9.2（A） 378

习题9.3（A） 379

习题9.4（A） 380

二、教材（B）类题解答 381

习题9.1（B） 381

习题9.2（B） 382

习题9.3（B） 385

习题9.4（B） 385

三、考研连线 386

1.基础题 386

2.拓展题 389

四、探究与应用 390

求空间曲面的面积 390

走进数学 391

欧拉与二重积分 391

第10章 无穷级数 393

课前预习导引 393

一、大纲解读 393

1.教学大纲解读 393

2.考研大纲解读（2012版） 393

二、问题搜索 394

整理、归纳和提升 396

一、知识整理 396

二、技能归纳 399

1.研究常数项级数收敛性常用的方法 399

2.求级数和常用的方法 403

3.常数项级数的绝对收敛与条件收敛的判别法 404

4.求函数项级数的收敛域及和函数的方法 405

5.函数的幂级数展开 407

三、能力提升 410

1.停下来想一想栏目解惑 410

2.辨错作答 413

3.思想方法释义 414

帮助与提高 415

一、教材（A）类题解答 415

习题10.1（A） 415

习题10.2（A） 419

习题10.3（A） 423

习题10.4（A） 428

习题10.5（A） 433

二、教材（B）类题解答 438

习题10.1（B） 438

习题10.2（B） 441

习题10.3（B） 446

习题10.4（B） 451

习题10.5（B） 456

三、考研连线 460

1.基础题 460

2.拓展题 466

四、探究与应用 468

无穷级数与无穷积分 468

函数项级数的连续性与可微性 469

走进数学 469

阿贝尔简介 469

第11章 微分方程 471

课前预习导引 471

一、大纲解读 471

1.教学大纲解读 471

2.考研大纲解读（2012版） 471

二、问题搜索 472

整理、归纳和提升 473

一、知识整理 473

二、技能归纳 477

1.求解一阶微分方程的方法 477

2.二阶常系数线性微分方程的求解方法 479

三、能力提升 480

1.停下来想一想栏目解惑 480

2.辨错作答 484

3.思想方法释义 485

帮助与提高 487

一、教材（A）类题解答 487

习题11.1（A） 487

习题11.2（A） 490

习题11.3（A） 503

二、教材（B）类题解答 515

习题11.1（B） 515

习题11.2（B） 517

习题11.3（B） 521

三、考研连线 526

1.基础题 526

2.拓展题 529

四、探究与应用 532

蛛网模型 532

走进数学 533

庞加莱的定性理论 533

第12章 差分方程 534

课前预习导引 534

一、大纲解读 534

1.教学大纲解读 534

2.考研大纲解读（2012版） 534

二、问题搜索 534

整理、归纳和提升 536

一、知识整理 536

二、技能归纳 539

1.一阶常系数齐次线性差分方程的通解的求法 539

2.一阶常系数非齐次线性差分方程的通解的求法 539

3.二阶常系数齐次线性差分方程通解的求法 541

4.二阶常系数非齐次线性差分方程通解的求法 541

5.差分方程在经济学中的应用 542

三、能力提升 543

1.停下来想一想栏目解惑 543

2.辨错作答 547

3.思想方法释义 547

帮助与提高 548

一、教材（A）类题解答 548

习题12.1（A） 548

习题12.2（A） 551

习题12.3（A） 555

习题12.4（A） 559

二、教材（B）类题解答 563

习题12.1（B） 563

习题12.2（B） 564

习题12.3（B） 566

三、考研连线 569

四、探究与应用 570

动态经济系统的蛛网模型 570

走进数学 573

差分方法在计算数学中的应用 573

参考文献 575