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《信息与计算科学丛书》序 1

符号便览 1

导论 1

第1章 积分算子和积分方程 6

1.1 Banach空间 6

1.1.1赋范空间与Banach空间 6

1.1.2 Banach空间的紧集 9

1.1.3 Banach空间的线性有界算子与线性泛函 11

1.1.4共鸣定理及其推论 12

1.1.5共轭算子及其性质 14

1.1.6紧算子及其性质 15

1.2 Hilbert空间 17

1.2.1内积空间与Hilbert空间的定义 17

1.2.2正交分解 19

1.2.3 Riesz表示引理 20

1.2.4自共轭算子与正投影算子 21

1.3线性算子的谱 22

1.3.1 开映射定理与逆算子定理 22

1.3.2无界算子与闭图像定理 23

1.3.3谱的定义和分类 24

1.3.4紧算子谱 24

1.3.5自共轭算子的特征值 26

1.4 fredholm定理与Fredholm算子 27

1.4.1 Fredholm定理 27

1.4.2 Fredholm算子 29

1.5积分算子 29

1.5.1 Volterra型积分算子 29

1.5.2分数微积分大意 32

1.5.3非线性Volterra型积分算子 34

1.5.4 Fredholm型积分算子 34

1.5.5非线性Fredholm型积分算子 38

1.5.6积分变换 39

1.6积分方程 40

1.6.1第二类Volterra型积分方程与方程组 40

1.6.2第一类Volterra型积分方程与方程组 44

1.6.3第二类Fredholm型积分方程与方程组 45

1.6.4第一类Fredholm型积分方程 47

1.7积分方程的近似方法概论 48

1.7.1一般方法概要 48

1.7.2 Galerkin方法与迭代Galerkin方法 49

1.7.3配置法与正交配置法 52

1.7.4退化核法 54

1.7.5求积方法和Nystrom算法 55

第2章 数值积分的高精度算法 57

2.1一维数值积分 57

2.1.1 Gauss方法 57

2.1.2 Euler-Maclaurin求和公式 61

2.1.3 Richardson外推与Romberg算法 68

2.2 Euler-Maclaurin展开式在奇异积分中的推广 71

2.2.1 Riemann-Zeta函数 72

2.2.2 Mellin变换及其逆变换 73

2.2.3弱奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 74

2.2.4发散积分的有穷部分 79

2.2.5在［0，∞）区间上的奇异和超奇积分的Euler-Maclaurin展开式 82

2.2.6有限区间上的奇异和超奇积分的Euler-Maclaurin展开式 84

2.3带参数的奇异函数的数值积分及其渐近展开 87

2.3.1带参数的奇异与弱奇异积分的推广Euler-Maclaurin渐近展开 87

2.3.2带参数的超奇积分的推广Euler-Maclaurin渐近展开 93

2.3.3算例 100

2.4变数替换方法与收敛的加速 101

2.4.1 sinn变换方法 102

2.4.2双幂变换方法 105

2.4.3反常积分的变换方法 106

2.5多维积分的Euler-Maclaurin展开式与分裂外推算法 107

2.5.1多维积分的Euler-Maclaurin展开式 107

2.5.2分裂外推法及其递推算法 110

2.5.3分裂外推的组合算法 114

2.5.4多维反常积分的Duffy变换方法 116

2.5.5多维单纯形上的积分 118

2.5.6多维曲边区域上的积分 120

2.5.7含参数的多维区域上的弱奇异积分的算法 122

第3章Volterra型积分方程的高精度算法 124

3.1第二类连续核非线性Volterra积分方程高精度数值方法 124

3.1.1第二类非线性Volterra积分方程的求积方法 124

3.1.2离散Gronwall不等式与梯形、中矩形求积方法的收敛性和稳定性 126

3.1.3梯形和中矩形求积方法的高精度外推法与组合法 131

3.1.4 Runge-Kutta法简介 133

3.1.5多步法简介 135

3.2第二类非线性弱奇异Volterra型积分方程的高精度算法 136

3.2.1积积分法简介 137

3.2.2配置法简介 138

3.2.3推广离散Gronwall不等式 138

3.2.4变换方法与求积算法的误差估计 143

3.2.5修改梯形求积方法及其外推 147

3.2.6修改中矩形求积方法的渐近展开与高精度组合方法 151

3.3第二类非线性弱奇异Volterra型积分方程组的高精度算法 152

3.3.1变换方法与修改梯形求积法 154

3.3.2修改梯形求积法的收敛性和误差估计 156

3.3.3修改梯形求积法的渐近展开与外推 160

3.3.4修改中矩形求积法的渐近展开与组合算法 165

3.4第一类Volterra积分方程高精度数值方法 169

3.4.1修改梯形求积法和修改中矩形求积法的算法构造 170

3.4.2修改梯形求积法和修改中矩形求积法的误差估计 173

3.4.3修改梯形求积法和修改中矩形求积法的渐近展开与外推 175

3.4.4外推与组合方法的算例 177

3.5一类Volterra型时滞积分方程高精度算法与外推 178

3.5.1解的存在性和唯一性 179

3.5.2求积方法的构造 180

3.5.3渐近展开、外推、组合算法与后验误差估计 183

第4章 第二类Fredholm积分方程的高精度算法 189

4.1退化核法 189

4.1.1退化核积分方程的算法 189

4.1.2多维积分方程的常元退化核法（关于变元y的插值法） 190

4.1.3多维积分方程的常元退化核法（同时关于变元x，y的常元插值函数法） 194

4.1.4基于高次插值的退化核法 195

4.2配置法 197

4.2.1常元配置法 199

4.2.2一维Lagrange插值配置法 201

4.2.3正交配置法 203

4.2.4三角多项式配置法 205

4.2.5解的正则性与加速收敛 207

4.2.6配置法的条件数 208

4.2.7一维弱奇异积分方程配置解的外推与分裂外推法 210

4.2.8 多维弱奇异积分方程配置解的分裂外推法 215

4.2.9 Hammerstein型积分方程的迭代配置法 216

4.3 Galerkin方法 217

4.3.1 Galerkin方法与迭代Galerkin方法 217

4.3.2 Galerkin方法的条件数 220

4.3.3常元Galerkin方法 221

4.3.4线元Galerkin方法 223

4.3.5用三角多项式为基的Galerkin方法 224

4.3.6 Petrov-Galerkin方法 226

4.3.7迭代Kantorovich方法 228

4.3.8 Galerkin近似的线性泛函的超收敛估计 230

4.3.9迭代Galerkin近似的超收敛性估计 231

4.4 Nystrom方法 232

4.4.1 Nystrom方法的原理 232

4.4.2连续核的Nystrom方法的收敛性 233

4.4.3 Nystrom方法的离散方程的条件数 238

4.4.4具有光滑核的多维积分方程Nystrom方法的分裂外推方法 239

4.4.5弱奇异积分算子的聚紧逼近 242

4.4.6解第二类弱奇异积分方程的积积分方法 246

4.4.7解第二类弱奇异积分方程的求积方法 252

4.4.8求积方法的收敛性 253

4.4.9求积方法的外推 259

4.4.10求积方法的组合技巧 262

4.5迭代精细算法与特征值问题 266

4.5.1近似算子的稳定收敛与径向收敛 266

4.5.2近似方程的迭代精细算法 267

4.5.3特征值问题及其扰动理论 270

4.5.4紧算子特征值问题近似解及其误差估计 272

4.5.5特征值问题的迭代精细算法 274

4.5.6分裂外推法在多维积分算子的特征值问题中的应用 276

4.5.7外推法在弱奇异积分算子的特征值问题中的应用 279

4.5.8组合技巧在积分算子的特征值问题中的应用 281

4.6离散方程的剩余校正法与多层网格算法 282

4.6.1剩余校正的原理 282

4.6.2 多重网格方法的原理 284

4.6.3退化核方法的二重网格迭代 286

4.6.4 Nystrom方法的二重网格迭代 288

4.6.5配置法的二重网格迭代 290

第5章 边界积分方程的高精度算法 295

5.1直接边界积分方程的导出 295

5.1.1 Green第二公式与基本解 295

5.1.2 Green函数 299

5.1.3内问题与外问题 299

5.1.4直接边界积分方程的导出 301

5.1.5转化内Dirichlet问题为第一类直接边界积分方程 303

5.1.6转化内Neumann问题和混合边值问题为第二类直接边界积分方程 303

5.1.7转化外混合边值问题为直接边界积分方程 305

5.2位势理论与间接边界积分方程的导出 307

5.2.1间接边界积分方程一般概述 307

5.2.2位势理论及其性质 310

5.2.3 Dirichlet问题的间接边界元方法 316

5.2.4 Neumann问题的间接边界元方法 318

5.2.5自然边界元方法 319

5.3第一类边界积分方程的Galerkin方法及其超收敛估计 319

5.3.1第一类边界积分方程解的存在性和唯一性 320

5.3.2平衡分布与转移直径 321

5.3.3对数核的正定性质（在Cг＜1情形） 322

5.3.4解第一类边界积分方程的Galerkin方法 325

5.3.5光滑边界的内点近似值的超收敛性质 328

5.3.6角域的Galerkin方法 329

5.3.7角域的Galerkin方法的内点近似值的超收敛估计 331

5.4第一类边界积分方程的高精度配置法 336

5.4.1圆上问题的配置方法及其收敛性 337

5.4.2角域上问题的配置方法及其收敛性 344

5.4.3配置方法在内点计算的超收敛估计 346

5.5第一类边界积分方程的高精度求积方法 348

5.5.1圆上第一类边界积分方程的求积方法与外推 348

5.5.2一般光滑边界上的第一类边界积分方程的求积方法与外推 354

5.5.3多角形和开弧上的第一类边界积分方程的求积方法 358

5.5.4多角形区域上近似解的误差的多参数渐近展开与分裂外推 366

5.6混合边值问题的第二类边界积分方程的求积法 369

5.6.1 Robin边值问题的第二类边界积分方程 369

5.6.2求积法 372

5.6.3算例 374

5.7定常Stokes问题的边界积分方程的高精度求积方法 375

5.7.1平面定常Stokes问题的边界积分方程组 375

5.7.2近似方程的构造 376

5.7.3误差估计与渐近展开 378

5.7.4算例 381

5.8平面双调和方程的第一类边界积分方程的高精度算法 382

5.8.1双调和问题的第一类边界积分方程 382

5.8.2求积方法的构造 383

5.8.3近似解的收敛性 385

5.8.4误差的渐近展开式及外推 392

5.8.5 算例 394

5.9平面弹性力学位移问题的第一类边界积分方程的高精度求积法 395

5.9.1弹性力学位移问题的第一类弱奇异边界积分方程组 395

5.9.2位移问题的求积方法及其收敛性 398

5.9.3位移问题的误差估计与分裂外推 401

5.9.4算例 403

5.10 Steklov特征值问题的边界元方法 404

5.10.1转换Steklov特征值问题为边界积分方程的特征值问题 404

5.10.2求积方法 404

5.10.3求积法的误差分析 406

5.10.4 h3-Richardson外推 408

5.10.5算例 410

5.11三维轴对称问题的边界积分方程的高精度算法 411

5.11.1转化三维轴对称问题为二维边界积分方程 411

5.11.2求积法与分裂外推 414

5.11.3算例 417

5.12不连续介质问题的边界积分方程的高精度算法 419

5.12.1不连续介质问题的边界积分方程 419

5.12.2求积方法及其误差的渐近展开 422

5.12.3算例 425

评注 427

参考文献 430

索引 447

后记 449

《信息与计算科学丛书》已出版书目 450