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第1章 函数 1

1.1 函数 1

1.1.1 实数与区间 1

1.1.2 函数概念 3

1.1.3 函数的表示法 7

练习题1.1 11

1.2 几类特殊的函数 12

1.2.1 有界函数与无界函数 13

1.2.2 单调函数 16

1.2.3 奇函数与偶函数 19

1.2.4 周期函数 22

练习题1.2 24

1.3 函数的运算 25

1.3.1 函数的四则运算 25

1.3.2 复合函数 27

1.3.3 反函数 28

练习题1.3 33

1.4 初等函数 34

1.4.1 基本初等函数 35

1.4.2 初等函数 38

习题1 40

练习题1.4 40

第2章 极限 42

2.1 数列的极限 42

2.1.1 数列 42

2.1.2 数列？的极限 43

2.1.3 数列的极限 45

2.1.4 例题 47

练习题2.1 51

2.2 收敛数列 52

2.2.1 收敛数列的性质 52

2.2.2 收敛数列的四则运算 54

2.2.3 数列收敛的判别法 59

2.2.4 数e 64

2.2.5 例题 66

2.2.6 子数列 68

练习题2.2 70

2.3 函数极限的概念 71

2.3.1 函数在一点的极限 72

2.3.2 左、右极限 76

2.3.3 函数在无穷远处的极限 78

练习题2.3 84

2.4.1 函数极限的性质定理 85

2.4 函数极限的定理 85

练习题2.4 90

2.5 两个重要极限 90

2.5.1 介绍两个常用的不等式 90

2.5.2 ？=1 91

2.5.3 ？=e 91

2.5.4 待定型极限 93

2.5.5 例题 93

练习题2.5 94

2.6 无穷小量与无穷大量 95

2.6.1 关于无穷小量与无穷大量的定义及相互间的关系 95

2.6.2 关于无穷小量与无穷大量的性质 97

2.6.3 关于无穷小量的比较、无穷大量的比较 99

2.6.4 例题 101

练习题2.6 102

习题*2 102

第3章 连续函数 104

3.1 连续函数 104

3.1.1 连续函数的概念 104

3.1.2 不连续点及其分类 108

练习题3.1 110

3.2.1 函数在一点连续的性质 111

3.2 连续函数的性质 111

3.2.2 在闭区间上连续函数的性质 113

练习题3.2 117

3.3 初等函数的连续性 119

3.3.1 反函数的连续性 119

3.3.2 初等函数的连续性 120

练习题3.3 122

习题3 123

第4章 实数的连续性 124

4.1.1 闭区间套定理 125

4.1 实数连续性定理 125

4.1.2 确界定理 126

4.1.3 聚点定理 131

4.1.4 有限覆盖定理 134

4.1.5 柯西收敛准则 136

练习题4.1 139

4.2 闭区间上连续函数性质的证明 140

4.2.1 有界性定理 140

4.2.2 最大与最小值定理 142

4.2.3 介值定理 143

4.2.4 一致连续性定理 145

练习题4.2 146

习题4 147

第5章 导数与微分 148

5.1 导数 148

5.1.1 导数的引进 148

5.1.2 导数的定义 150

5.1.3 例题 153

练习题5.1 156

5.2 求导法则 157

5.2.1 导数的四则运算 157

5.2.2 反函数求导法则 161

5.2.3 复合函数求导法则 163

5.2.4 初等函数的导数 165

5.2.5 隐函数求导法 167

5.2.6 参数方程求导法 170

练习题5.2 172

5.3 微分 174

5.3.1 微分概念 174

5.3.2 导数与微分 175

5.3.3 微分的运算法则与公式 177

5.3.5 微分在近似计算中的应用 178

5.3.4 微分的几何意义 178

练习题5.3 180

5.4 高阶导数与高阶微分 181

5.4.1 高阶导数及其运算法则 181

5.4.2 莱布尼兹公式 183

5.4.3 高阶微分 185

练习题5.4 187

习题5 187

6.1 中值定理 189

6.1.1 费尔马引理 189

第6章 微分学中值定理和泰勒公式 189

6.1.2 中值定理 191

习题6.1 206

6.2 泰勒公式 208

6.2.1 泰勒公式 208

6.2.2 泰勒公式的余项 213

6.2.3 几个常用的初等函数的马克劳林展开式 216

练习题6.2 220

习题6 220

第7章 导数的应用 222

7.1 洛比达法则 222

7.1.1 0/0型 223

7.1.2 ∞/∞型 228

7.1.3 其它待定型 229

练习题7.1 236

7.2 函数的单调性 236

练习题7.2 244

7.3 函数的极值 244

练习题7.3 258

7.4 函数作图 259

7.4.1 函数的凹凸性及拐点 260

7.4.2 曲线的渐近线 268

7.4.3 描绘函数图像 273

练习题7.4 281

习题7 282

第8章 不定积分 284

8.1 不定积分的概念和性质 285

8.1.1 原函数与不定积分的概念 285

8.1.2 不定积分的性质 288

8.1.3 基本积分表 290

练习题8.1 293

8.2 换元积分法 294

8.2.1 第一换元法(凑微分法) 295

8.2.2 第二换元法(作代换法) 305

练习题8.2 310

8.3 分部积分法 312

练习题8.3 319

8.4 有理函数的不定积分 320

8.4.1 有理真分式的分解 321

8.4.2 真分式的积分法 325

8.4.3 有理函数的不定积分 327

练习题8.4 331

8.5 三角函数有理式的积分 332

8.5.1 万能代换 332

8.5.2 特殊的变量替换 335

8.5.3 利用三角恒等式或其它简便方法 336

练习题8.5 337

习题8 337

第9章 定积分 340

9.1 定积分的概念 340

9.1.1 两个实例 340

9.1.2 定积分的定义 343

9.1.3 定积分的几何意义 346

练习题9.1 347

9.2 定积分的存在性条件 348

9.2.1 可积的必要条件 348

9.2.2 小和与大和 350

9.2.3 可积准则 354

9.2.4 三类可积函数 357

练习题9.2 359

9.3 定积分的性质 360

练习题9.3 369

9.4 定积分的计算 369

9.4.1 积分上限函数 369

9.4.2 定积分的基本公式 372

9.4.3 定积分的变量替换法 374

9.4.4 定积分的分部积分法 378

练习题9.4 380

习题9 381

第10章 定积分的应用 384

10.1 微元法 384

练习题10.1 386

10.2 定积分在几何上的应用 387

10.2.1 平面图形的面积 387

10.2.2 平面曲线的弧长 393

10.2.3 利用截面面积计算立体体积 396

10.2.4 旋转体的体积 398

10.2.5 旋转体的侧面积 400

练习题10.2 401

10.3.1 液体的压力 402

10.3 定积分在物理上的应用 402

10.3.2 变力作功 404

10.3.3 非均匀曲线的质量 405

练习题10.3 406

10.4 定积分的近似计算 407

10.4.1 梯形法 407

10.4.2 抛物线法 409

练习题10.4 412

习题10 413

11.1.1 级数的收敛与发散 414

第11章 数项级数 414

11.1 级数的收敛性及其性质 414

11.1.2 收敛级数的性质 421

练习题11.1 428

11.2 正项级数 429

11.2.1 正项级数敛散性判别的基本定理 429

11.2.2 正项级数的比较判别法 433

11.2.3 根式判别法与比式判别法 437

练习题11.2 444

11.3 变号级数 445

11.3.1 交错级数 446

11.3.2 绝对收敛级数与条件收敛级数 450

练习题11.3 452

习题11 453

第12章 函数项级数 456

12.1 函数级数的一致收敛 456

12.1.1 函数级数的概念 456

12.1.2 一致收敛概念 457

12.1.3 一致收敛的判别法 461

练习题12.1 464

12.2 一致收敛函数级数的分析性质 464

12.3 极限函数的分析性质 473

练习题12.2 473

练习题12.3 476

习题12 476

第13章 幂级数 478

13.1 幂级数的收敛域 478

13.1.1 幂级数 478

13.1.2 幂级数的收敛性 479

练习题13.1 484

13.2 幂级数的性质 485

13.2.1 一致收敛性 485

12.2.2 幂级数的运算性质 486

练习题13.2 492

13.2 函数的幂级数展开式 493

13.3.1 泰勒级数 493

13.3.2 初等函数的幂级数展开式 499

练习题13.3 506

13.4 幂级数在近似计算上的应用 507

13.4.1 一些数值计算 507

13.4.2 对数计算及其造表原理 511

13.4.3 三角函数的计算及其造表原理 514

练习题13.4 517

习题13 518

第14章 广义积分 520

14.1 无穷积分 520

14.1.1 无穷积分收敛与发散的概念 520

14.1.2 无穷积分的基本性质 523

14.1.3 无穷积分与数值级数的关系 526

练习题14.1 533

14.2 瑕积分 534

14.2.1 瑕积分收敛与发散的概念 534

14.2.2 瑕积分的收敛判别法 538

14.3 г函数简介 541

练习题4.2 541

习题14 543

第15章 多元函数微分学 545

15.1 平面点集 545

15.1.1 平面及其子集 545

15.1.2 邻域及有关概念 546

练习题15.1 549

15.2 二元函数概念 549

15.2.1 二元函数的定义 549

15.2.2 二元函数的定义域 550

练习题15.2 552

15.3 二元函数的极限与连续性 553

15.3.1 二重极限 553

15.3.2 累次极限 557

15.3.3 二元函数的连续性 559

15.3.4 在有界闭区域上二元连续函数的特性 561

练习题15.3 562

15.4 二元函数的偏导数与全微分 564

15.4.1 偏导数的概念 564

15.4.2 全微分的概念 566

15.4.3 复合函数的偏导数 570

15.4.4 一阶全微分的形式不变性 573

练习题15.4 574

15.5 隐函数及其求导 575

15.5.1 隐函数及其求导 575

15.5.2 隐函数存在定理 577

练习题15.5 580

15.6 n元函数微分学的有关问题简介 580

15.6.1 n维空间中的点集 580

15.6.2 n元函数及其极限与连续 581

15.6.3 n元函数的偏导数与全微分 583

15.6.4 n元复合函数及隐函数求导 584

练习题15.6 587

习题15 588

第16章 二重积分 590

16.1 二重积分的概念 590

16.1.1 两个实际问题 590

16.1.2 二重积分的定义 593

16.1.3 二元函数可积的充分条件 595

16.1.4 二重积分的性质 596

练习题16.1 599

16.2 二重积分的计算 600

16.2.1 化二重积分为累次积分 600

16.2.2 用极坐标计算二重积分 609

练习题16.2 613

16.3 二重积分的应用 615

16.3.1 空间立体图形的体积 615

16.3.2 平面图形的面积 618

练习题16.3 619

16.4 三重积分简介 619

16.4.1 三重积分的概念 619

16.4.2 三重积分计算方法举例 622

练习题16.4 631

习题16 632

17.1.1 第一型曲线积分的概念 633

第17章 曲线积分 633

17.1 第一型曲线积分 633

17.1.2 第一型曲线积分的性质 634

17.1.3 第一型曲线积分的计算 635

17.1.4 空间第一型曲线积分的定义 637

17.2 第二型曲线积分 638

17.2.1 第二型曲线积分的概念 638

17.2.2 第二型曲线积分的计算 640

17.2.3 空间第二型曲线积分 642

17.3 第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系 643

17.4 格林公式 644

17.5 曲线积分与路线无关的条件 647

17.5.1 第二型曲线积分与线路无关的条件 647

17.5.2 已知函数的全微分求原函数 650

习题17 651

第18章 微分方程简介 653

18.1 微分方程的一般概念 653

18.1.1 微分方程和方程的阶 655

18.1.2 方程的解 656

18.1.3 通解 初始条件 特解 656

18.1.4 例题 657

练习题18.1 660

18.2 一阶微分方程的初等积分法 661

18.2.1 恰当方程 661

18.2.2 变量分离的方程 666

18.2.3 一阶线性方程 668

18.2.4 初等变换法 671

练习题18.2 675

18.3 应用举例 676

练习题18.3 679

习题18 679

附录：练习题与习题部分答案或提示 680