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目录 1

绪论 1

第一章曲线论 3

§1．挠曲线的解析表示 3

1．切线 5

2．曲线弧 5

3．曲率 8

4．密切平面 9

习题 10

§2．Frenet公式 11

§3．自然方程 16

习题 16

1．基本定理 17

2．存在定理 18

习题 23

§4．规范展开活动标架 23

1．Bouquet公式 23

2．Cesàro恒等条件 26

习题 30

§5．密切圆密切球 30

习题 33

§6．曲线弧长的第一变分 34

1．平面曲线 36

习题 36

§7．平面曲线等周问题 36

2．卵形线 37

3．等周问题 41

Crone及Frobenius定理 42

Hurwitz的证明 44

§8．特殊挠曲线 48

1．一般螺线 48

2．Bertrand曲线 51

3．Mannheim曲线 55

§9．极小曲线 56

1．自然参数 56

2．基本定理 58

3．极小曲线的方程 61

习题 62

§10．曲线的整体性质 63

1．四顶点定理 63

2．Fenchel定理 65

习题 67

§11．可展曲面 69

1．直纹面 69

2．Cesàro曲线 71

3．渐缩线及渐伸线 72

习题 74

§12．Darboux方法 74

总习题 76

1．第一基本形式曲面的线素 78

第二章曲面论 78

§13．基本形式 78

2．曲面的法线和切平面 82

3．第二基本形式 84

习题 85

§14．极小曲线渐近曲线 86

1．极小曲线 86

2．渐近曲线 88

3．共轭曲线网 90

§15．曲面上曲线的曲率 92

1.法曲率 92

2．Meusnier定理 93

3．总曲率平均曲率 94

4．Euler定理Dupin标线 95

习题 97

§16．曲率线 98

1．曲率线的新定义 98

2．Darboux定理 101

3．曲率线的又一个定义 102

习题 104

§17．测地挠率 107

习题 110

§18．两曲面之间的保角对应 111

1.保角对应 111

2．地图的制法 115

3．Liouville定理 118

习题 123

§19.Gauss的球面表示 125

1.第三基本形式Weingartea公式 125

2．Gauss定理 127

3．Beltrami-Ennepre定理 128

习题 128

§20．Beltrami的微分参数 129

1．代数学的一个定理 129

2．Beltrami的第一阶微分参数 131

3．Beltrami的第二阶微分参数 133

习题 137

§21．测地线 138

1．测地线的定义 138

2．测地曲率 141

3．测地线坐标 144

4．O．Bonnet公式 145

5．Liouville公式 146

6．求测地线的Darboux方法 148

习题 151

§22．两曲面间的测地线对应 153

1．Beltrami定理 153

2．Dini定理 159

1．Gauss曲率K 163

习题 163

§23．曲面上的几何学 163

2．测地线 166

3．关于测地线三角形的Gauss定理 168

4．测地线离差 170

5．Gauss-Bonnet公式 171

6．Levi-Civita的平行移动概念 177

习题 183

§24．常总曲率的曲面与非欧几何学 185

1．Poincaré上半平面的表示 185

2．非欧几何学 190

习题 195

1．简史 197

§25．绝对微分学 197

2．张量 198

3．测地线的微分方程 203

4．Levi-Civita的平行移动 206

5．Christoffel的共变微分 210

6．Riemann的曲率张量 213

7．沿无穷小平行四边形的循环移动 217

习题 219

§26．曲面论基本方程 221

1．关于曲面线素的Christoffel记号 221

2．基本微分方程 223

3．可积分条件 224

习题 228

§27．基本定理 231

习题 235

§28．曲面变形论 236

1．定义 236

2．变形论第一问题 237

3．变形论第二问题 243

习题 250

§29．极小曲面 252

1．简史 252

2．Weierstrass公式 254

3．Schwarz公式 259

4．附属极小曲面 265

5．单侧极小曲面 266

6．Plateau问题 268

7．曲率线都是平面曲线的极小曲面 274

习题 276

§30．W曲面 278

1．定义及基本量 278

2．1W曲面的一个特征 283

习题 286

§31．用运动学讨论曲面的方法 286

1.运动学初步公式 286

2．应用 290

3．曲率线法曲率测地曲率及Laguerre定理 292

4．曲面的基本方程 296

5．Beltrami定理与Bonnet定理 300

总习题 304

第三章线汇论 306

§32.直纹面 306

1.一些重要元素 306

2．一些定理 309

3．Minding关于直纹面变形的研究 312

4．Beltrami关于直纹面变形的研究 313

5．Bonnet定理 316

习题 317

1.简史 318

§33.直线汇的Kummer表示法 318

2．Kummer的基本形式 319

3．Malus与Dupin定理 320

§34．直线汇的附属元素 323

1.可展曲面 323

2．二叶焦曲面及中点曲面 325

3．极限点 327

§35.Sannia的理论 331

1.Sannia的基本形式 331

2．基本定理 333

习题 336

1.对偶数与直线坐标 338

§36.Study的推移原理 338

2．对偶点与Sannia的基本形式 340

习题 343

§37．导来直线汇 343

1．定义 343

2．分析表示 344

习题 346

§38．主要曲面和可展曲面的球面表示 347

1．主要曲面 347

2．可展曲面 350

§39．极小线汇 350

1．定义 350

2．极小直线汇的性质 352

§40．Guichard直线汇 355

1．定义 355

2．Guichard线汇与Voss曲面 356

§41．W直线汇 358

1．定义 358

2．Lelieuvre公式 359

3．W直线汇的决定 361

§42．圆汇与曲线汇 364

1.Ribaucour定理 364

2．法圆汇 365

3．拟球与法圆汇 370

总习题 373