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目录 1

第一章导论 1

1.1.有限的、无限的、积分的不等式 1

1.2.记号 2

1.3.正不等式 2

1.4.齐次不等式 3

1.5.代数不等式的公理基础 5

1.6.可比较的函数 5

1.7.证明的选择 6

1.8.主题的选择 8

第二章初等平均值 11

2.1.常用平均 11

2.2.加权平均 12

2.3.mr（a）之极限情形 13

2.4.Cauchy不等式 15

2.5.算术平均和几何平均定理 16

2.6.平均值定理的其他证明 18

2.7.Н？lder不等式及其推广 21

2.8.Н？lder不等式及其推广（续） 24

2.9.平均值mr（a）的一般性质 26

2.10.和数бr（a） 28

2.11.Minkowski不等式 30

2.12.Minkowski不等式之一件随不等式 33

2.13.几个基本不等式的解说和应用 33

2.14.几个基本不等式的归纳证明 38

2.15.与定理37有关的初等不等式 40

2.16.定理3的初等证明 43

2.17.Чебышев（Tchebychef）不等式 44

2.18.Muirhead定理 46

2.19.Muirhead定理的证明 47

2.20.一个另外的定理 50

2.21.关于对称平均的其它定理 51

2.22.n个正数之初等对称函数 53

2.23.关于有定形式（definiteform）的一点说明 57

2.24.关于严格正型的一个定理 60

第三章关于一个任章函数的平均，凸函数论 71

3.1.定义 71

3.2.等价平均 72

3.3.平均mr的一特征性质 74

3.5.凸函数 76

3.4.可比较性 76

3.6.连续凸函数 77

3.7.一个另外的定义 79

3.8.诸基本不等式中的等号 80

3.9.定理85的新的表达和推广 81

3.10.两次可微的凸函数 82

3.11.二次可微凸函数的性质之应用 84

3.12.多变数凸函数 85

3.13.Н？lder不等式之推广 87

3.14.关于单调函数的一些定理 89

3.15.具有任意函数的和数：Jensen不等式的推广 91

3.16.Minkowski不等式的推广 92

3.17.集合的比较 95

3.18.凸函数的其他的普遍性质 98

3.19.连续凸函数的其他性质 101

3.20.不连续凸函数 103

第四章微积分学的若干应用 111

4.1.导引 111

4.2.中值定理的应用 111

4.3.初等微分学的进一步应用 113

4.4.单变数函数的极大和极小 116

4.5.Taylor级数的使用 117

4.6.多变函数的极大极小理论的应用 117

4.7.级数与积分的比较 119

4.8.Young的—个不等式 121

第五章无穷级数 124

5.1.导引 124

5.2.平均值mr 126

5.3.定理3和定理9的推广 129

5.4.Н？lder不等式及其推广 130

5.6.和数бr 132

5.5.平均值mr（续） 132

5.7.Minkowski不等式 133

5.8.Чебышев（Tchebychef）不等式 134

5.9.摘要 134

第六章积分 138

6.1.Lebesgue积分方面的一些准备知识 138

6.2.关于零集和零函数的说明 140

6.3.有关积分之进一步说明 141

6.4.关于证法的说明 143

6.5.关于方法的进一步说明：Schwarz不等式 145

6.6.当r≠0时平均值mr（f）的定义 147

6.7.一函数的几何平均 149

6.8.几何平均的其它性质 152

6.9.关于积分的Н？lder不等式 153

6.10.平均mr（f）的一般性质 157

6.11.平均mr（f）的一般性质（续） 158

6.12.logm？之凸性 160

6.13.关于积分的Mimkowski不等式 160

6.14.与一任意函数有关的平均值 166

6.15.Stielties积分的定义 169

6.16.Stieltjes积分的特别情形 170

6.17.前面一些定理的推广 171

6.18.平均mr（f；φ） 172

6.19.分布函数 174

6.20.平均值的特征化 175

6.21.关于特征性质的说明 176

6.22.完成定理215的证明 178

第七章变分法的一些应用 193

7.1.一些一般性的说明 193

7.2.这一章的目的 195

7.3.一个与一不可达到的极值相应的不等式的例子 196

7.4.定理254的第一证明 197

7.5.定理254的第二证明 200

7.6.用来阐明变分法的其它例子 203

7.7.另外的例子：Wirtinger不等式 206

7.8.包含二次导数的一个例子 209

7.9.一个较简单的定理 215

第八章有关双线性形式和多线性形式的一些定理 220

8.1.导引 220

8.2.具有正变数和正系数的多线性形式不等式 220

8.3.W．H．Young之一定理 223

8.4.推广和类似情形 225

8.5.在Fourier级数中的应用 227

8.6.关于多线性形式的凸性定理 229

8.7.一般的双线性形式 230

8.8.有界双线性形式的定义 232

8.9.［p，q］中有界形式的一些性质 234

8.10.［p，p′］中两个形式的卷积（Convolution，Faltung） 236

8.11.关于［2，2］中形式的一些特有定理 237

8.12.应用于Hilbert形式 239

8.13.关于具有复变数和系数的双线性形式的凸性定理 241

8.14.最大组（x，y）的另外的性质 243

8.15.定理295的证明 244

8.16.M.Riesz定理的应用 246

8.17.在Fourier级数上的应用 248

第九章Нilbert不等式及其类似情形和推广 255

9.1.Hilbert二重级数定理 255

9.2.一类广泛的双线性形式 256

9.3.关于积分的相应定理 259

9.4.定理318和定理319的推广 260

9.5.可能最好的常数：定理317的证明 262

9.6.关于Hilbert定理的进一步说明 263

9.7.Hilbert定理的应用 266

9.8.Hardy不等式 269

9.9.另外的积分不等式 274

9.10.关于级数的另外的定理 277

9.11.从关于积分的定理推出关于级数的定理 278

9.12.Carleman不等式 280

9.13.当0＜p＜1时的定理 281

9.14.具有两个参数p和q的一个定理 284

第十章重新排列 293

10.1.有限变数组的重新排列 293

10.2.有关两个集的重新排列的一个定理 294

10.3.定理368的第二个证明 295

10.4.定理368的改写 297

10.5.有关三个集的重新排列定理 298

10.6.将定理373化为一特殊情形 299

10.7.证明的完成 301

10.8.定理371的另一证明 303

10.9.任意多个集的重新排列 306

10.10.关于任意多个集的重新排列的另一定理 308

10.11.应用 310

10.12.一函数的重新排列 310

10.13.关于二函数的重新排列 312

10.14.关于三个函数的重新排列 313

10.15.定理379的证明的完成 315

10.16.一个另外的证明 319

10.17.应用 322

10.18.另外—个关于将一函数按降序重新排列的定理 325

10.19.定理384的证明 327

附录Ⅰ．关于严格正形式 337

附录Ⅱ．Thorin关于定理295的证明及推广 342

附录Ⅲ．关于Hilbert不等式 345

参考文献 347