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目 录序第一章函数与极限第一节函数概念 1

一、历史上的简单回顾（1） 二、函数概念（3） 三、应注意的几个问题 9

第二节极限概念 9

一、极限概念教学的简单回顾（9） 二、对用ε-б（？-N）讲述极限概念的不同看法 10

三、极限概念（10） 四、极限的一些定理 17

第三节连续函数 27

一、连续函数概念的历史回顾（27） 二、函数的连续性（28） 三、间断点 31

四、连续函数的运算（31） 五、连续函数在闭区间上的性质 34

六、连续函数的反函数（35） 七、基本初等函数及初等函数的连续性 37

第二章一元函数微分学第一节 引 言 38

一、微积分产生的因素（38） 二、一元函数微分学所要解决的一些问题 38

三、导数是解决问题的主要手段（38） 四、微分法是解决问题的基本运算 38

第二节一元函数变化率 39

五、一元微分学的基本理论 39

一、问题的引出（39） 二、非均匀变化下快慢程度的表示（39） 三、函数的可导与连续性的关系 40

第三节微 分 40

一、怎样求△y（40）． 二、微分概念及其性质（41） 三、几点注意 42

第四节Rolle定理 43

一、要不要严格证明定理，存在两种截然不同的看法（43） 二、Rolle定理的教学中常会遇到的问题 44

第五节Lagrange定理 47

一、关于Lagrange定理的证明（47） 二、Lagrange定理的意义 49

三、引导学生得到的一些结果 50

第六节Cauchy均值定理 52

一、Cauchy公式的直观描述（52） 二、构造辅助函数？（x）证明Cauchy公式 53

第七节L Hospital法则 54

一、L Hospital法则提出及其直观意义（54） 二、L Hospital法则（0/0型） 54

三、当x→∞时的不定型：0/0型（57） 四、不定型∞/∞型 58

第八节Taylor公式 59

一、Taylor公式的历史背景（59）二、Tayloг公式的实质（61）三、多项式Pn（x）的展开式（61） 四、物理上所要求的条件（62）五、阶的估计（62） 六、Taylor公式的余项（63） 七、举例 64

第九节函数增减性 65

一、函数增减性（65） 二、用导数判断函数的增减性 66

第十节函数的极值 69

一、函数极值是函数的局部性态（69） 二、函数极值的判别 69

第十一节 函数的凸凹性与凸函数 73

一、凸函数概念（73） 二、函数凸性的条件（77） 三、Jenson不等式 79

四、拐点（80）五、函数凸凹性的几种定义方式 81

第十二节渐近线 81

一、渐近线概念（81） 二、渐近线的定义 82

第十三节曲 率 83

一、曲线弯曲程度的描述（83） 二、弧微分（84） 三、曲率计算公式 85

第三章多元函数微分学第一节多元函数的极限与连续 86

一、平面点集（86） 二、多元函数的定义（88）三、多元函数的极限概念（88）四、多元函数的连续性（92）五、多元连续函数的运算（93）六、多元连续函数的性质 94

第二节偏导数与高阶偏导数 94

一、当自变量发生变化时，函数变化的快慢程度问题（94） 二、偏导数的概念 95

三、函数的偏导数与连续性的关系（96）四、高阶偏导数 97

第三节全微分 100

一、第一种处理方法（100） 二、第二种处理方法（102） 三、第三种处理方法 103

第四节方向导数、弱微分和梯度 105

一、方向导数（105） 二、强微分与弱微分（106） 三、梯度 108

第五节复合函数的微分法 109

一、多元复合函数的概念（109） 二、多元复合函数微分法问题的提法 109

三、链式法则（110） 四、一阶微分形式的不变性 112

第六节隐函数微分法 113

第七节多元函数的Taylor公式 118

第八节多元函数的极值 120

一、多元函数的极大值与极小值（120） 二、多元函数极值的必要条件 121

三、多元函数极值的充分条件 123

第九节多元函数的最大值与最小值 125

第十节多元函数的条件极值 127

一、第一种导出Lagrange乘数法的方法（127） 二、第二种导出Lagrange乘数法的方法 128

第十一节多元函数微分学在几何上的应用 130

一、曲面的切平面和法线（130） 二、曲线的切线与法平面 131

第四章一元函数积分学第一节不定积分 133

一、原函数、不定积分和积分常数（133） 二、换元积分法和分部积分法 142

三、几类可以表为有限形式的不定积分 151

第二节定积分 166

一、定积分的概念（166） 二、定积分存在的条件和可积函数的种类（170） 三、定积分的性质（178） 四、微积分学基本定理（188） 五、定积分的换元积分法和分部积分法（194） 六、定积分的应用 199

第三节广义积分 211

一、无穷积分（211） 二、瑕积分（221） 三、广义积分与无穷级数的关系 226

第五章 多元函数积分学第一节二重积分、三重积分 227

一、二重积分的概念（227） 二、三重积分的概念（228） 三、二重积分的计算 229

四、三重积分的计算（237） 五、重积分的变量替换 242

第二节多元函数积分的定义、第一类曲线积分、第一类曲面积分 247

一、多元函数积分的定义（247） 二、多元函数的可积性和多元函数积分的性质 252

三、第一类曲线积分的计算（255） 四、第一类曲面积分的计算 259

第三节第二类曲线积分 261

一、第二类曲线积分的概念（261） 二、第二类曲线积分的计算 264

第四节第二类曲面积分 267

一、曲面的侧和曲面的定向（267） 二、第二类曲面积分的概念（268） 三、第二类曲面积分的计算 272

第五节Green公式、Gauss公式、Stokes公式 279

一、Green公式（279） 二、平面曲线积分与路径的无关性（291） 三、Gauss公式（300） 四、Stokes公式 305

第六章常数项级数第一节常数项级数的基本概念与简单性质 308

一、无穷数列与无穷级数（308） 二、级数的一般性质 311

第二节正项级数 317

一、正项级数收敛的充分与必要条件（317） 二、正项级数的比较判别法 318

三、正项级数的比值判别法（321） 四、正项级数的根值判别法 326

五、正项级数的积分判别法 329

第三节任意项级数 332

一、交错级数（332） 二、绝对收敛与条件收敛 333

第四节收敛级数运算性质 336

一、分配律的适用性（336） 二、结合律的适用性（336） 三、交换律的适用性 337

四、级数的乘法 338

第七章函数项级数第一节函数序列与函数项级数 341

第二节函数项级数的一致收敛及其判别法 342

一、一致收敛概念（342） 二、一致收敛的判别法 347

第三节函数项级数的和函数的性质 350

一、和函数的连续性（351） 二、函数项级数的逐项积分定理（352） 三、函数项级数的逐项微分定理 353

第四节幂级数 356

一、收敛域及收敛半径（357） 二、收敛半径的求法（361） 三、幂级数的性质 363

第五节函数展成幂级数 367

一、将函数展开成幂级数（367） 二、一些初等函数展开为幂级数 370

第六节傅里叶级数 373

一、傅里叶级数的引进（373）二、周期函数（374）三、基本三角函数系的正交性 375

四、傅里叶系数（376）五、收敛问题（377）六、正弦展开和余弦展开（380）七、傅里叶级数的逐项积分和逐项微分（385）八、以2l为周期的傅里叶级数 386

第八章微分方程第一节微分方程的提出和它的一些基本概念 390

第二节一阶微分方程 393

一、变量分离型微分方程（393）二、一阶线性微分方程（396） 三、可化为线性的微分方程（398）四、一阶齐次方程（399）五、可化为齐次的微分方程（401）六、全微分方程（403）七、可化为全微分的方程（405）八、杂题 408

第三节可降阶的高阶微分方程 411

一、y(n)=f（x）型的高阶微分方程（411）二、y″=f（x,y′）型的高阶微分方程 411

三、y″=f（y,y′）型的高阶微分方程 412

第四节线性微分方程解的结构 414

一、线性齐次方程解的结构（414）二、线性非齐次微分方程解的结构 418

第五节常系数线性齐次微分方程 423

第六节常系数线性非齐次微分方程 427

一、f(x)=Pm(x)（428）二、f(x)=erxPm(x)（430）三、f(x)=e？？〔P？(x)cosωx+Pn(x)sin ωx〕 432

第七节可化为常系数的线性微分方程 434

附 录英汉人名对照表 436