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编者的话 1

第0章 集合与映射 1

第一章 点集拓扑 5

1.1 拓扑空间 6

1.1.1 拓扑 开集 闭集 6

1.1.2 邻域 闭包 内部 边界 11

1.1.3 子空间 14

1.1.4 基 子基 局部基 16

1.2 连续映射 18

1.2.1 连续映射 19

1.2.2 同胚 拓扑性质 21

1.2.3 积空间 27

1.2.4 商空间 29

1.2.5 收敛性 35

1.3 可数性 分离性 37

1.3.1 可数性 37

1.3.2 分离性 38

1.3.3 Urysohu引理和Tietze扩张定理 42

1.4 紧性 46

1.4.1 紧空间 47

1.4.2 可数紧空间 序列紧空间 聚点紧空间 53

1.4.3 局部紧性 单点紧化 57

1.5 连通性 60

1.5.1 连通空间和局部连通空间 60

1.5.2 道路连通空间和局部道路连通空间 65

1.6.1 度量化定理 67

1.6 点集拓扑的进一步概念 67

1.6.2 单位分解 71

1.6.3 流形 72

1.6.4 仿紧空间 73

1.6.5 函数空间 74

第二章 基本群和覆盖空间 89

2.1 同伦 90

2.1.1 映射的同伦 90

2.1.2 同伦等价 93

2.2 基本群 98

2.2.1 道路类及其乘法 98

2.2.2 基本群及其性质 103

2.3.1 圆周的基本群 108

2.3 基本群的计算 108

2.3.2 计算基本群的方法 114

2.4 覆盖空间的概念及其基本性质 117

2.4.1 覆盖空间的定义与例子 117

2.4.2 覆盖空间的基本性质 121

2.5 映射提升定理 127

2.6 覆盖空间的分类定理 130

2.6.1 覆盖空间的示性类 131

2.6.2 分类定理 132

2.6.3 覆盖空间的存在性 135

2.7 万有覆盖空间 139

第三章 单纯同调论 155

3.1 单纯复形与多面体 155

3.1.1 单纯复形 156

3.1.2 多面体与可剖空间 158

3.1.3 复形的定向 161

3.1.4 抽象单纯复形 162

3.2 单纯复形的同调群 164

3.2.1 链群与边缘同态 165

3.2.2 同调群的定义 168

3.2.3 复形的连通性与零维同调群的结构 170

3.2.4 计算同调群的进一步例子 171

3.3 Euler-Poincare公式 176

3.3.1 整同调群的结构 176

3.3.2 Euler-Poincare公式 177

3.3.3 以任意Abel群作系数群的同调群 180

3.4 单纯映射与单纯逼近 182

3.4.1 单纯映射及其诱导同态 184

3.4.2 单纯逼近 188

3.5 单纯逼近定理和连续映射的诱导同态 192

3.5.1 重心重分和单纯逼近定理 193

3.5.2 重分链映射与连续映射的诱导同态 196

3.5.3 同调群的伦型不变性 198

3.6 伪流形 199

3.7 球面上的映射与不动点定理 203

3.7.1 拓扑度 204

3.7.2 球面的向量场 208

3.7.3 Borsuk-Ulam定理 210

3.7.4 Brouwer不动点定理 214

3.7.5 Lefschetz不动点定理 215

3.8 局部同调群与维数不变性 220

3.8.1 局部同调群 220

3.8.2 维数不变性 224

3.9 棱道群.π1(︱K︱)与H1(K)的关系 225

第四章 代数拓扑学中若干其他论题 241

4.1 相对同调群与同调序列 241

4.1.1 相对同调群 241

4.1.2 切除定理 244

4.1.3 同调序列 245

4.2 上同调群与上同调环 248

4.2.1 上同调群 249

4.2.2 上同调环 251

4.3 奇异同调论 254

4.3.1 奇异同调群 255

4.3.2 Mayer-Vietoris序列 259

4.4.1 定义和简单性质 262

4.4 同伦群 262

4.4.2 同伦群的交替描述及其进一步的性质 263

4.4.3 同伦论中几个著名的结果 266

4.5 范畴与函子 同调论的公理 270

4.5.1 范畴与函子 270

4.5.2 同调论的公理 273

附录A Abel群与非Abel群 275

附录B Van Kampen定理 288

附录C Jordan曲线定理 295

附录D 紧曲面的拓扑分类 303

附录E 同调群的拓扑不变性 316

符号一览表 324

参考书目 327

索引 329